Théorème de Lebesgue Riemann

[Archytas]

Salut y a un théorème qui dit que pour les fonctions bornées définies sur un segment elles sont Riemann intégrable ssi la mesure de Lebesgue de l'ensemble de leur point de discontinuité est de mesure nulle.
Ce que je comprends pas c'est que si on prend f : [0,1] -> {0,1}, x -> 1 si x rationnel et 0 sinon. D'après le théorème précédent (il s'applique parce que f discontinue sur Q inter [0,1] de mesure de Lebesgue nulle) f est Riemann-intégrable. Sauf que si je ne m'abuse l'intégrale de Riemann de cette fonction n'est même pas définie, si ? Et du coup ça vaudrait 0 ? Comme l'intégrale de Lebesgue ?

[DamX]

Salut y a un théorème qui dit que pour les fonctions bornées définies sur un segment elles sont Riemann intégrable ssi la mesure de Lebesgue de l'ensemble de leur point de discontinuité est de mesure nulle.
Ce que je comprends pas c'est que si on prend f : [0,1] -> {0,1}, x -> 1 si x rationnel et 0 sinon. D'après le théorème précédent (il s'applique parce que f discontinue sur Q inter [0,1] de mesure de Lebesgue nulle) f est Riemann-intégrable. Sauf que si je ne m'abuse l'intégrale de Riemann de cette fonction n'est même pas définie, si ? Et du coup ça vaudrait 0 ? Comme l'intégrale de Lebesgue ?

Bonjour,

ton exemple ne s'applique pas. OK la fonction vaut 1 sur un ensemble de mesure nulle et 0 partout ailleurs, mais pour autant elle n'est continue nulle part (densité de Q). L'ensemble des points de discontinuité c'est tout [0,1], et pas juste les rationnels de [0,1].

Damien

[Archytas]

Bonjour,

ton exemple ne s'applique pas. OK la fonction vaut 1 sur un ensemble de mesure nulle et 0 partout ailleurs, mais pour autant elle n'est continue nulle part (densité de Q). L'ensemble des points de discontinuité c'est tout [0,1], et pas juste les rationnels de [0,1].

Damien

D'accord merci et autre chose j'aurais besoin de montrer la mesurabilité de x -> Osc,x(f) pour f fixée correspondant à l'énoncé précédent. Avec Osc,x(f) =

[Ben314]

...pour f fixée correspondant à l'énoncé précédent....

Quest ce que tu veut dire par là ?
Que l'ensemble des points de discontinuité de f est de mesure de lebesgue nulle ?

Si c'est le cas, il me semble qu'on montre facilement que :
continue en continue en

[DamX]

De plus sauf erreur, dans le cas de la fonction f definie dans le premier post, Osc(f) est tout simplement la fonction constante égale à 1.

[Archytas]

Ouais c'est ça mais du coup c'est pour montrer le théorème le prof a oublié de montré que l'ensemble des points de discontinuité de f est mesurable (parce qu'il le mesure à un moment sans justifications) il dit que c'est l'union indexé par n des Dn={x de [a,b] tels que Osc,x(f) <= 1/n} donc la préimage de [0,1/n] par Osc(f) et donc ça serait cool que cette fonction soit mesurable. Et comme j'arrive pas trop à m'imaginer ce que c'est Osc ça rend la chose compliquée. Et Ben f n'est pas supposée continue, je sais même pas si elle est mesurable (enfin j'espère quand même)...

[Ben314]

En te lisant, ça donne l'impression qu'on ne suppose... rien du tout...
J'ai bien peur (mais je n'en suis pas totalement certain... :doh:) que, sans aucune hypothèse sur f, tu va avoir du mal à montrer que est mesurable...

[DamX]

Pour t'aider à visualiser Osc(f) :

Osc(f) est une fonction qui est nulle partout où f est continue, et non nulle en les points de discontinuité de f.

Dans le cas général, je ne suis pas sur qu'on puisse la caractériser plus que ça.

Dans le cas où f est une fonction continue par morceaux, on peut dire que Osc(f)(x) = max{f(x-),f(x),f(x+)} - min{f(x-),f(x),f(x+)} pour tous les points de discontinuité x (c'est à dire "l'amplitude de la discontinuité").

Dans le cas initial avec f l'indicatrice sur les rationnels, en tout point le saut de discontinuité était de 1 et la fonction Osc(f) était ainsi la constante 1.

[Ben314]

En fait, j'ai bien l'impression que est forcément mesurable (quelque soit f) :
Pour un réel a fixé, si alors donc il existe un voisinage ouvert I de tel que et on en déduit que .
Cela montre que est ouvert donc mesurable.

[Archytas]

En fait, j'ai bien l'impression que est forcément mesurable (quelque soit f) :
Pour un réel a fixé, si alors donc il existe un voisinage ouvert I de tel que et on en déduit que .
Cela montre que est ouvert donc mesurable.

Ouais balèze ! ça me semblait bizarre aussi mais c'est vrai que c'est vachement cohérent ce que t'as écrit ! Elle est super cool cette fonction osc !! Merci beaucoup Ben !
Et merci aussi à Dam, je visualise beaucoup mieux la gueule de la machine !
Merci à vous deux c'est cool, bonne journée !!