Intégrabilité d'une fonction

[alex26]

Salut à tous.

Voici un exo sur lequel je sèche depuis une semaine.

f: x-> 1/(1+ch(x)*abs(sin(x))^k) est elle intégrable sur [0,+infini[, k étant un entier >0 (strictement) fixé.

Merci

[fahr451]

la fonction f à intégrer est continue sur R donc intégrable sur tout segment
le seul problème est en l infini ; le 1/chx est intégrable en l 'infini le pb sont les points où le sin s 'annule les npi ; la fonction à intégrer étant positive l 'intégrale est de même nature que la série de terme général : intégrale (bornes npi et (n+1)pi ) de f on fait un changement de variable t= x-npi
pour avoir 0 pi comme bornes et ensuite on majore l 'intégrale en minorant
le sinx par 2x/pi (valable sur [0,pi/2] refaire un changement de variable sur [pi/2 ,pi] pour s 'y ramener on minore également le ch(x+npi) par ch npi
pour pour calculer l'intérale on doit calculer une primitive de
1/(chnpi +2x/pi)^k distinguer k = 1; finalement on majore le tg par un tg en 1/chnpi d'où convergence de la série et intégrabilité de f