Injective

[zork]

Bonjour,

je chercher à montrer que AUB est dénombrable avec A et B dénombrable

f:A-->N bijective, de même pour g:B-->N

je cherche donc h:AUB-->N injective mais comment la trouver?

Au début j'ai pensé prendre: h(x)=f(x) si x dans A et g(x) sinon

mais cette fonction n'est pas injective: soient x,x' dans AUB tel que h(x)=h(x')
si x,x' dans A c'est bon
mais si x dans A et x' dans B ca ne marche pas


merci

[jlb]

Bonjour,

je chercher à montrer que AUB est dénombrable avec A et B dénombrable

f:A-->N bijective, de même pour g:B-->N

je cherche donc h:AUB-->N injective mais comment la trouver?

Au début j'ai pensé prendre: h(x)=f(x) si x dans A et g(x) sinon

mais cette fonction n'est pas injective: soient x,x' dans AUB tel que h(x)=h(x')
si x,x' dans A c'est bon
mais si x dans A et x' dans B ca ne marche pas


merci

en règle générale, il vaut mieux construire des applications "du concret (N) vers l'abstrait (A,B)"

tu définis alors k surjective de N dans AUB par k(2p)= ... et k(2p+1)=...

[beagle]

en règle générale, il vaut mieux construire des applications "du concret (N) vers l'abstrait (A,B)"

tu définis alors k surjective de N dans AUB par k(2p)= ... et k(2p+1)=...

et tu démontres la double surjection plutot, non, c'est cela?

[jlb]

Bonjour,

je chercher à montrer que AUB est dénombrable avec A et B dénombrable

f:A-->N bijective, de même pour g:B-->N

je cherche donc h:AUB-->N injective mais comment la trouver?

Au début j'ai pensé prendre: h(x)=f(x) si x dans A et g(x) sinon

mais cette fonction n'est pas injective: soient x,x' dans AUB tel que h(x)=h(x')
si x,x' dans A c'est bon
mais si x dans A et x' dans B ca ne marche pas

merci

et h(x)= 2f(x) avec x dans A et h(x)=2g(x)+1 si x dans B/A, ça doit marcher,non?

[beagle]

Bon alors soit j'ai dit des grosses bétises, soit j'ai dit des grosses évidences, soit jlb m'a mis en invisible.

Bijection f de Avers N, plus les éléments de B non dans A vont vers N par la bijection g de B vers N,
surjection de A union B vers N

On fait comme l'a dit jlb
bijection des pairs de N vont vers A,
bijection des impairs de N vont vers B,
surjection de N vers A union B

double surjection est bijection.

c'était ça jlb?

[jlb]

Bon alors soit j'ai dit des grosses bétises, soit j'ai dit des grosses évidences, soit jlb m'a mis en invisible.

Bijection f de Avers N, plus les éléments de B non dans A vont vers N par la bijection g de B vers N,
surjection de A union B vers N

On fait comme l'a dit jlb
bijection des pairs de N vont vers A,
bijection des impairs de N vont vers B,
surjection de N vers A union B

double surjection est bijection.

c'était ça jlb?

oui, c'est l'idée mais je ne comprends pas bien bijection, double surjection, les ensembles A et B peuvent être finis,non?

[beagle]

oui, mais zork parlait d'ensemble dénombrable infini ou pas spécialement?

son
"f:A-->N bijective, de même pour g:B-->N"
était une donnée initiale ou alors un cas particulier?

en règle générale est-ce que la double surjection n'est pas plus facile à trouver pour les ensembles infinis?

[chan79]

Salut
une tentative de démonstration à vérifier ...

soit f une bijection de A dans N
soit g une bijection de B dans N
soit h l'application de A U B dans N X N définie ainsi:
si x appartient à A\B, h(x)=(1,f(x))
si x appartient à B, h(x)=(2,g(x))
h est injective de AUB dans N X N
comme N X N est dénombrable, A U B est dénombrable aussi

[zork]

et h(x)= 2f(x) avec x dans A et h(x)=2h(x)+1 si x dans B/A, ça doit marcher,non?


tu voulais dire h(x)=2g(x)+1 non?

et comment montres tu que cette fonction est injective pour x dans A et x' dans B?

[jlb]

et h(x)= 2f(x) avec x dans A et h(x)=2h(x)+1 si x dans B/A, ça doit marcher,non?


tu voulais dire h(x)=2g(x)+1 non?

et comment montres tu que cette fonction est injective pour x dans A et x' dans B?

oui, faute de frappe, j'ai corrigé: ce cas ne peut arriver!! (pair et impair en même temps) pour x dans A et x' dans B/A et injectivité de f si x dans A et x' dans AinterB. Ca fonctionne non?