Fonction injective et ensemble bien ordonné

[aviateurpilot]

Ca ne fonctionne pas : bien ordonné, dénombrable, mais l'ensemble des éléments strictement inférieurs à est infini...
.

oui, tu as raison, j'ai fait une grande faute là,
il faut trouver une fonction et on aura pas forcement ,
par exemple pour le cas de .
on peux prendre par exemple et ,

mais je ne comprend pas ce que tu veux dire par "puissance" Clise.

[Lierre Aeripz]

Voici une solution correcte :

Soit une bijection.
Une solution du problème proposé est alors donnée par . Comme S est dénombrable et que est une famille sommable, la somme est toujours finie. Comme les termes sont strictement positifs, la croissance stricte est triviale.

[leon1789]

:++:
...ou comment numériser un sous-ensemble de N ! :id:

[aviateurpilot]

:++:
...ou comment numériser un sous-ensemble de N ! :id:

l'ensemble est-elle denombrable??

[Clise]

Voici une solution correcte :

Soit une bijection.
Une solution du problème proposé est alors donnée par . Comme S est dénombrable et que est une famille sommable, la somme est toujours finie. Comme les termes sont strictement positifs, la croissance stricte est triviale.

excusez moi mais je n'ai absolument pas compris :$

sinon aviateurpilot la puissance d'un ensemble est équivalente a son cardinal, c'est juste une autre appellation.

Cependant, j'ai un problème, d'après wikipedia "Un ensemble infini est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une bijection entre lui et . Intuitivement, un ensemble infini est dénombrable si, et seulement si, on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le « deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter."

Ainsi, donc d'après la définition d'un ensemble dénombrable, il existe directement une bijection? Est ce ça ou est ce que je me trompe ? Je vois pas ou est la subtilité pour des ensembles ayant des cardinaux transfinis...

[leon1789]

l'ensemble est-elle denombrable??

non. Pourquoi cette question ?

[aviateurpilot]

excusez moi mais je n'ai absolument pas compris :$

sinon aviateurpilot la puissance d'un ensemble est équivalente a son cardinal, c'est juste une autre appellation.

Lierre Aeripz a ecris qui est bien defini , en effet
puisque S est denombrable alors pour un on a est denombreble ou finie
1er cas) si est fini ,on ecris et bien definie dans R
2eme cas) A infini denombrable,on peux comme meme ecrire et dans ce cas bien definie dans R

[leon1789]

Ainsi, donc d'après la définition d'un ensemble dénombrable, il existe directement une bijection?

oui (mais pas directement une bijection croissante lorsque S est bien ordonné.)

[Clise]

oui (mais pas directement une bijection croissante lorsque S est bien ordonné.)

Je ne cherche qu'une injection croissante ...
Enfin de toute façon c'est pas croissant ... donc ça change pas le problème !

[Clise]

Re-bonjour

Bon alors la solution proposé semble marcher. Nous avons donc démontré que si (S,<) est bien ordonné avec S dénombrable alors il existe une injection croissante de S dans R...

Bon alors maintenant si on travaille avec les ordinaux et qu'on prend l'ensemble w qui est définit comme le plus petit ensemble plus grand que l'ensembles des entiers naturels (ie ordinaux finis). Il est dénombrable (mais j'ai pas réussi a la démontrer formellement :( ) et bien ordonné. Donc, il existe une injection strictement croissante de w dans R.

Ainsi, on a :
pour tout n f(n)pour tout n appartenant a N, n est inclus dans w donc nce qui implique que f(0)donc f(n) tend vers f(w) quand n tend vers l'infini ?

Il y a t il un moyen de démontrer ceci "plus proprement"... Peut on le généraliser a tous les ordinaux limites ?

Merci pour vos réponses.

[aviateurpilot]

[quote="Clise"]
[....]
ce qui implique que f(0)1[/TEX] pourquoi pas?
mais je n'ai pas compris ce que tu veux dire par les w !!!
mais je vais te donner un exemple qui resemble a ce w,
il exemple pour S tel que N\subset S et pour un certain element on a pour tt
on prend denombrable
et on dit que an[/TEX]
mais

[Clise]

ok mais la je me suis placé dans le cadres des nombres ordinaux... il y a plusieurs définitions des nombres ordinaux mais je pense que la plus "facile" a comprendre est qu' "un ordinal est un ensemble bien ordonné qui est l'ensemble de ses prédécesseurs"... je vois pas pourquoi dans ce cas on peut avoir f(w)-f(n)>1 :marteau:

sinon pour w d'après wikipedia "Le premier nombre ordinal transfini est noté ;). Il correspond à l'ensemble des nombres entiers naturels"

[Lierre Aeripz]

Re-bonjour

Bon alors la solution proposé semble marcher. Nous avons donc démontré que si (S,<) est bien ordonné avec S dénombrable alors il existe une injection croissante de S dans R...

Bon alors maintenant si on travaille avec les ordinaux et qu'on prend l'ensemble w qui est définit comme le plus petit ensemble plus grand que l'ensembles des entiers naturels (ie ordinaux finis). Il est dénombrable (mais j'ai pas réussi a la démontrer formellement ) et bien ordonné. Donc, il existe une injection strictement croissante de w dans R.

Ainsi, on a :
pour tout n f(n)<f(n+1)
pour tout n appartenant a N, n est inclus dans w donc n<w et f(n)<f(w)
ce qui implique que f(0)<f(1)<f(2)<....<f(n)<f(n+1)<...<f(w)
donc f(n) tend vers f(w) quand n tend vers l'infini ?

Il y a t il un moyen de démontrer ceci "plus proprement"... Peut on le généraliser a tous les ordinaux limites ?

Merci pour vos réponses.

Quelques remarques...
- Il ne faut pas confondre double vé et oméga .
- est le plus petit ordinal contenant tous les ordinaux fini.
- La définition de dénombrable est être en bijection avec , donc est dénombrable.
- n'est pas élément de lui-même. Donc une fonction f définie sur ne definit pas

[Clise]

Quelques remarques...
- Il ne faut pas confondre double vé et oméga .
- est le plus petit ordinal contenant tous les ordinaux fini.
- La définition de dénombrable est être en bijection avec , donc est dénombrable.

Merci pour cette réponse, effectivement font pas confondre omega et w j'ai simplement été paresseuse d'écrire :S Pour ce qui est de la définition de dénombrable, oui d'accord, je m'en suis rendu compte plus tard :S Quand a la définition d'omega je suis désolé mais je me suis simplement mal exprimer, pourtant un ordinal est un ensemble non ? Mon explication manquait juste de précision ? De plus, est définie comme l'union de tous les entiers naturels et donc comme une union d'ordinaux, donc c'est un ordinal...

- n'est pas élément de lui-même. Donc une fonction f définie sur ne definit pas

C'est bien mon problème.... f() n'est pas définie donc .... en gros on pourrait le définir . Dans ce cas comment prouver que , cela revient a prouver la continuité de f non ?