Comment savoir si une fonction est injective/surjective ?

[Dante0]

Bonjour,


J4aimerais savoir comment faire pour savoir qu'une fonction est injective, surjective ou les 2 (bijective)

Pourquoi par exemple x+3 est injective alors que x² n'est ni injective ni surjective ? Comment le vérifier ? Je pars de la définition mais en pratique je ne comprends pas le concept.

Merci !

[beagle]

Parce que tu dois avoir plusieurs définitions.
Une rigoureuse qui te servira à formuler proprement mathématique que ...

Et une vision ensembliste avec deux patates et des flèches,
qui te fera "voir" tout de suite où est le blème.
Donc deux ensembles, A ensemble de personnes et ensemble B sont les chaises.
Si aucune chaise vide = toutes les chaises sont reliées à une ou plusieurs personnes, surjection
Si il n' y a jamais plus de une personne (= zéro personne, chaise restera vide, ou une seule personne),
ben c'est injection.

donc pour x^2 c'est rarement bijectif parce que par exemple a et -a auront la mème chaise, et les chaises négatives n'auront personne,
mais dans l'ensemble des réels de zéro à plus l'infini vers l'ensemble des réels de zéro à plus l'infini,
je ne vois pas trop ce qui va géner d'avoir une chaise et une seule par personne.
ET dans N to N, x^2 sera injective.

[leon1789]

Premièrement, on ne peut pas dire si une fonction est injective ou surjective ou bijective tant que l'on n'a pas précisé clairement les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction ! Une fonction, ce n'est pas seulement une formule (genre f(x) = cos(x) + x²), mais aussi des ensembles de départ et d'arrivée.

x --> x² peut être injectif ou pas, surjectif ou pas, bijectif ou pas... tout dépend des ensembles de départ et d'arrivée !

Deuxièmement, il faut une définition rigoureuse des concepts, mais surtout une bonne image mentale du concept, et pour cela, une phrase en français fait très bien l'affaire. Encore faut-il en avoir une et la comprendre réellement.

Il y a un peu de vocabulaire (ensemble d'arrivée, ensemble de départ, élément, antécédent, fonction) qu'il faut absolument comprendre, sinon c'est peine perdue pour comprendre l'injectivité et la surjectivité.

Par exemple, comprends-tu
" tout élément de l'ensemble d'arrivé possède au moins un antécédent par la fonction f " ?
" tout élément de l'ensemble d'arrivé possède au maximum un antécédent par la fonction f " ?
" tout élément de l'ensemble d'arrivé possède exactement un antécédent par la fonction f " ?

Si oui, alors donnes-nous des exemples pour voir...
Si non, que ne comprends-tu pas ?

[leon1789]

Premièrement, on ne peut pas dire si une fonction est injective ou surjective ou bijective tant que l'on n'a pas précisé clairement les ensembles de départ et d'arrivée de la fonction ! Une fonction, ce n'est pas seulement une formule (genre f(x) = cos(x) + x²), mais aussi des ensembles de départ et d'arrivée.

x --> x² peut être injectif ou pas, surjectif ou pas, bijectif ou pas... tout dépend des ensembles de départ et d'arrivée !

Deuxièmement, il faut une définition rigoureuse des concepts, mais surtout une bonne image mentale du concept, et pour cela, une phrase en français fait très bien l'affaire. Encore faut-il en avoir une et la comprendre réellement.

Il y a un peu de vocabulaire (ensemble d'arrivée, ensemble de départ, élément, antécédent, fonction) qu'il faut absolument comprendre, sinon c'est peine perdue pour comprendre l'injectivité et la surjectivité.

Par exemple, comprends-tu
" tout élément de l'ensemble d'arrivé possède au moins un antécédent par la fonction f " ?
" tout élément de l'ensemble d'arrivé possède au maximum un antécédent par la fonction f " ?
" tout élément de l'ensemble d'arrivé possède exactement un antécédent par la fonction f " ?

Si oui, alors donnes-nous des exemples pour voir...
Si non, que ne comprends-tu pas ?

[Dante0]

Parce que tu dois avoir plusieurs définitions.
Une rigoureuse qui te servira à formuler proprement mathématique que ...

Et une vision ensembliste avec deux patates et des flèches,
qui te fera "voir" tout de suite où est le blème.
Donc deux ensembles, A ensemble de personnes et ensemble B sont les chaises.
Si aucune chaise vide = toutes les chaises sont reliées à une ou plusieurs personnes, surjection
Si il n' y a jamais plus de une personne (= zéro personne, chaise restera vide, ou une seule personne),
ben c'est injection.

donc pour x^2 c'est rarement bijectif parce que par exemple a et -a auront la mème chaise, et les chaises négatives n'auront personne,
mais dans l'ensemble des réels de zéro à plus l'infini vers l'ensemble des réels de zéro à plus l'infini,
je ne vois pas trop ce qui va géner d'avoir une chaise et une seule par personne.
ET dans N to N, x^2 sera injective.

A quel moment x² est bijective ou injective par exemple ?
Parce que pour moi c'est tout le temps ni l'un ni l'autre non ?
Sinon les fonctions affine sont toujours injectives ?

Tu peux me donner un exemple de fonction surjective ?

[eratos]

A quel moment x² est bijective ou injective par exemple ?
Parce que pour moi c'est tout le temps ni l'un ni l'autre non ?
Sinon les fonctions affine sont toujours injectives ?

Tu peux me donner un exemple de fonction surjective ?

f: x ->x² :
f: R ->R n'est ni injective (f(2)=f(-2)=4 pourtant 2 n'est pas -2) ni surjective (tu prends -4 il n'y a pas de carré négatifs dans R: x²=-4 n'a pas de solution)

f:R->R+ (ensemble des réels positifs) n'est pas injective (pour les même raisons) mais surjective cette fois (on enlève le problème de carré négatifs)

f:R+ ->R+ est bijective: injective car x différent de y implique x² différent de y² et surjective (pour les raisons juste au dessus)

tu vois la nuance?

[Dante0]

f: x ->x² :
f: R ->R n'est ni injective (f(2)=f(-2)=4 pourtant 2 n'est pas -2) ni surjective (tu prends -4 il n'y a pas de carré négatifs dans R: x²=-4 n'a pas de solution)

f:R->R+ (ensemble des réels positifs) n'est pas injective (pour les même raisons) mais surjective cette fois (on enlève le problème de carré négatifs)

f:R+ ->R+ est bijective: injective car x différent de y implique x² différent de y² et surjective (pour les raisons juste au dessus)

tu vois la nuance?

Quand tu écris f:R->R+ le deuxième R (R+ donc) c'est celui qui correspond à l'espace d'arrivée donc à l'image ?

[Archibald]

A quel moment x² est bijective ou injective par exemple ?
Parce que pour moi c'est tout le temps ni l'un ni l'autre non ?
Sinon les fonctions affine sont toujours injectives ?

Tu peux me donner un exemple de fonction surjective ?

je peux même t'affirmer qu'une fonction de ce type est à la fois injective et surjective, et donc bijective.

Démonstration : soit f une fonction affine qui va de l'ensemble E vers l'ensemble F.




est injective ssi :
Une fonction affine est donc toujours injective.

est surjective ssi :
Une fonction affine est donc surjective puisque pour tout , l'équation a pour solution

est injective, est surjective, donc est bijective.

[jlb]

Salut, pour la surjectivité, comment assures-tu que x=(y-b)/a appartient à E?
Pour f:[0,1]--->[1,4]
x---> 2x+1
quel est l'antécédent de 4?

[Archibald]

Bonjour,

j'ai en effet omis de préciser que E et F sont assimilés au corps des réels dans ma démonstration.

J'avais prévu un paragraphe sur les restrictions mais voyant que le thème avait déjà été abordé avant moi, j'ai renoncé, sans adapter le reste. My bad !

[eratos]

Quand tu écris f:R->R+ le deuxième R (R+ donc) c'est celui qui correspond à l'espace d'arrivée donc à l'image ?

L'ensemble d'arrivée d'une fonction et son image peuvent être différents, justement du fait qu'une fonction peut être surjective ou pas.

l'ensemble d'arrivée et l'image de f correspondent si f est surjective parce que tout les éléments de l'ensemble d'arrivée seront images par f d'éléments de l'ensemble de départ.

[alavacommejetepousse]

Bonjour,

Pour bien comprendre ces notions il faut se munir d'un vieux tableau (dit noir) d'une craie et d'un chiffon pour effacer.
On dessine la courbe de f : R -> R , x I-> x*x
on doit pouvoir répondre aux questions en termes de nombres de solutions à l'équation f(x) = y d'inconnue x de paramètre y.

on efface des parties de courbe (voire de tableau) id est on restreint la fonction ( à la source ou au but) et on se repose les mêmes questions.La réponse peut changer en fonction de ce qu'on a effacé .

[Dante0]

Bon je récapitule
Injective = au plus un antécédent
Surjective = au moins un antécédent
Bijective = Un seul antécédent

Soit la fonction x+2 définie dans E->F qu'est-ce qu'on veut dire par la phrase "tout élément de F a au plus un antécédent" et "tout élément de F a au moins un antécédent" ? je peux schématiser avec les patates et les flèches, mais empiriquement comment le vérifier ? Je prend la fonction x+2 comment je vérifie le fait que cette fonction ait
1) Au plus un antécédent
ET
2) Au moins un antécédent ?

[eratos]

comment je vérifie le fait que cette fonction ait
1) Au plus un antécédent
ET
2) Au moins un antécédent ?

f:E->F
1)f(x)=f(y) implique x=y (en gros si deux flèches arrivent sur le même élément de F, ce sont les mêmes flèches)
2) pour tout y de F il existe un x de E tel que f(x)=y, dans ton exemple, tu choisis y dans F, tu poses x=y-2 (qui existe puisque y existe, x doit etre dans E évidemment), en appliquant f à x tu retombe sur y.

[Archibald]

Bon je récapitule
Injective = au plus un antécédent
Surjective = au moins un antécédent
Bijective = Un seul antécédent

Soit la fonction x+2 définie dans E->F qu'est-ce qu'on veut dire par la phrase "tout élément de F a au plus un antécédent" et "tout élément de F a au moins un antécédent" ? je peux schématiser avec les patates et les flèches, mais empiriquement comment le vérifier ? Je prend la fonction x+2 comment je vérifie le fait que cette fonction ait
1) Au plus un antécédent
ET
2) Au moins un antécédent ?

Je t'ai montré la méthode plus haut ... ça fait toujours plaisir de constater que nos productions sont lues par le principal destinataire..!

[Dante0]

f:E->F
1)f(x)=f(y) implique x=y (en gros si deux flèches arrivent sur le même élément de F, ce sont les mêmes flèches)
2) pour tout y de F il existe un x de E tel que f(x)=y, dans ton exemple, tu choisis y dans F, tu poses x=y-2 (qui existe puisque y existe, x doit etre dans E évidemment), en appliquant f à x tu retombe sur y.

OK ca c'est la stricte définition.
Par exemple si j'ai on me demande si cette fonction est injective, surjective ou bijective dans R->R je commence par quoi ?

Je t'ai montré la méthode plus haut ... ça fait toujours plaisir de constater que nos productions sont lues par le principal destinataire..!

J'ai lu et relu, je n'ai juste pas compris.

[Archibald]

Si tu ne fais pas l'effort d'assimiler ces bases là, va peut-être falloir effectivement se contenter de la vision des patates et des flèches.