Injective

[naruto-next]

salut,

je cherche a savoir comment demontrer qu'une fonction est injective , par exemple pour n > n +1 sur les naturel .

merci

[raito123]

En partant de la définition de l’injectivité :)

[barbu23]

Bonjour, :happy3:
La méthode est ce qui suit :

Montrons que est injective :
Soient tels que :
.
.
.
... On fait un petit développement de calcul explicite ...
.
.
.
Jusqu'à arriver à montrer que :


:happy3:

[Sylviel]

tu pars généralement de f(x) = f(y) et tu en déduis que x=y.

[naruto-next]

j'ai eu un controle et j'ai pas su demontrer que ( ex + e-x ) etait injective .

Merci

[Le_chat]

Pour les fonctions de R dans R, qui sont continues, l'injectivité revient à avoir la fonction strictement croissante.
Ici, si tu ne précises pas plus de chose sur ta fonction et qu'on la comprend comme l'application de R dans R qui à x associe exp(x)+exp(-x), elle n'est pas injective car elle a la même valeur, par exemple, en 1 et -1.

Par contre si on dit que c'est l'application qui à tout x positif associe exp(x)+exp(-x), ça va être injectif car strictement croissant.

[naruto-next]

salut ,

c'est pour x > 0 , mais pour demontrer qu'elle est injective , il faut se ramenner a x1 = x2 or pour ex +e-x je n'y arrive pas

[barbu23]

Bonjour : :happy3:
Non, n'applique pas la définition, mais, le Théorème suivant :
Si est continue et monotone alors est injective. :happy3:

[naruto-next]

ok il faut donc prouver qu'elle est continue ( plutot facile ) mais pour prouver qu'elle est monotone ?

[barbu23]

Salut : :happy3:

Quelle sont les propriétés de la fonction : ( cosinus hyperboliques )
Tu as vu le cosinus hyperbolique en cours ? :happy3:

[Le_chat]

Sinon, tu peux dériver, ça prend 2 lignes.

[barbu23]

Voici comment on fait, si tu ne veux pas passer par le cosinus hyperbolique : :happy3:
:


est donc croissante sur , et on a , donc pour tout .
Par conséquent : est croissante sur .

[Le_chat]

Ou sinon, sur R+ exp(x);)1 et exp(-x);)1 donc exp(x)-exp(-x);)0.

[naruto-next]

merci à vous