Infinitude nombres premiers

[jeje56]

Bonjour,

Je ne comprends pas bien un passage dans une démo :

Si a=4P(p_i)-1 et si q premier divise a avec q congru à -1 modulo 4 :
q = l'un des p_i implique q divise 1...

Je ne vois pas en quoi q congru à -1 est nécessaire pour affirmer ceci...
P(p_i) est un produit fini de nombres premiers...

Merci !

[Nightmare]

Salut,

eh bien je crois que ça ne sert à rien. La chose utile, c'est que si q est premier, il est forcément parmi les p(i) (par hypothèse). Du coup, il divise le produit des p(i) et il divise a. Du coup il divise 4P(p_i)-a, c'est à dire 1.

[jeje56]

D'accord... Voici la démo entière, il s'agit de prouver l'infinitude des nombres premiers de la forme 4n-1 :

On suppose qu'il existe un nombre fini de p_i et on pose :
a=4P(p_i)-1
On a : a=-1 mod(4)
a se décompose en produit de facteurs premiers, tous impairs, qui sont donc tous congrus à 1 ou -1 mod(4) ; de plus ils ne peuvent être congrus tous à 1 sinon a le serait aussi. Il existe donc un premier q=-1 mod(4) qui divise a. Mais q ne peut être l'un des p_i, sinon il diviserait 1. L'hypothèse est donc fausse.

Je ne vois donc pas pourquoi prendre "ce q" en particulier... Tout nombre premier intervenant de la DFP de a pourrait convenir non ?

Merci !

[Finrod]

il s'agit de prouver l'infinitude des nombres premiers de la forme 4n-1

La réponse est dans la question. Il faut qu'il soit de cette forme.

Sinon, tout diviseur premier aurait fait l'affaire.

[jeje56]

Donc en fait, les p_i sont de la forme 4n-1 par hypothèse c'est bien ça ?
Je pensais cela comme ça : on suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers (de toutes formes) et on pose a=4P(p_i)-1...

Merci !