Inéquation fonctionnelle

[poiuytreza]

Alors voilà : dans un exo olympique, je me retrouve avec une fonction de dans qui vérifie pour tous x et y :


Sachant que si , f est solution de , est-ce-que j'ai un théorème d'analyse qui permet de montrer que pour un certain a ?

(je me fiche de savoir ce qui se passe pour , il suffit d'avoir qui tend vers en pour conclure)

[barbu23]

Alors voilà : dans un exo olympique, je me retrouve avec une fonction de dans qui vérifie pour tous x et y :


Sachant que si , f est solution de , est-ce-que j'ai un théorème d'analyse qui permet de montrer que pour un certain a ?

(je me fiche de savoir ce qui se passe pour , il suffit d'avoir qui tend vers en pour conclure)

ces deux ecritures sont très proches :

,
En supposant que avec , ça doit donner quelues coses d'interessant ! :happy3:
un thèoème qui permet de montrer que , est celui là :
si et alors : sur

[poiuytreza]

J'ai bien vu que les deux écritures étaient proches, je me demande justement si elles le sont assez !
Je vois pas très bien ce que ça change de prendre
Sinon, pour ton dernier théorème, c'est trivial si g est dérivable, mais rien ne l'oblige à l'être...

[Finrod]

Si tu fais tendre y vers x, tu obtiens g'(x) plus grand que g²(x).

edit : ça te le relie à l'équa diff de f, après doit y avoir de la théorie des équa dff pour en déduire qqchse.

[poiuytreza]

D'accord, mais ça ça ne marche que dans le cas (très) particulier où g est dérivable.

[barbu23]

Je vois pas très bien ce que ça change de prendre

ça permets de calculer la derivée de la composée de deux fonctions en un points ! mais là, tu nous dit rien si est derivable ou non ! :happy3:

bref, tu aura quelue chose comme ça :
et tu as
alors là, il faut pouvoir passer pour dire que
et à partir du théorème que j't'ai donné dans l'autre poste, tu vas pouvoir conclur que :happy3:

[Doraki]

Si par exemple, g(0) = 1, on aimerait montrer que g(1) ne peut pas être défini.

Je me disais qu'on pouvait essayer de montrer que {x / pour tout y de [0;x], g(x) >= f(x)} était ouvert et fermé.
fermé c'est facile, mais ouvert ça a l'air coton.
Ca m'a pas l'air plus facile que de dire :

g(0) >= 1 donc g(1) >= 2.
g(0) >= 1 donc g(3/2) >= 3/2 donc g(1) >= 21/8
etc
et de montrer ainsi que g(1) est plus grand que n'importe quel réel.

[Ben314]

Il me semble avoir une méthode un peu bourrin.
Tu constate que, si alors .
Cela peut conduire à considérer la suite suivante :
fixé (quelconque) puis .
La formule appliquée avex et dit que ce qui implique que et donc que ce qui implique que
Cela assure que la suite est convergente alors que assure que la suite tend vers l'infini.

[poiuytreza]

D'accord, pour mon exo ça marche mais ça ne dit pas si
Tant qu'à faire, je me demande si ça peut se généraliser...
Genre si et f solution de , alors
Comme ça au feeling je dirais non mais je vois pas de contre-exemple...

[Ben314]

Il me semble que le problème, par exemple dans ton exo, c'est que montrer que sans avoir dit qui on prenait pour a, ça me semble forcément pas façile à montrer (et surement faux pour certaines valeurs de a !!!)
D'où le point de départ de la méthode çi dessus consistant plus ou moins à prendre qui donne (par construction) (en fait =).
Comme tu travaille avec des inégalités concernant les écarts g(x+y)-g(x), il me semble clair que c'est comme avec les équa-diff, c'est à dire qu'il faut une "valeur initiale" pour "déclencher le processus".

Edit, par exemple, pour ton "cas général", c'est forcément faux du fait que l'équa-diff f'=hof admet une infinité de solutions car on a le choix de la "condition initiale".
Il est clair que, si la condition initiale ne vérifie pas , c'est foutu !

Edit 2 : le problème est quand même interessant en rajoutant que la fonction f non seulement vérifie f'=hof mais aussi qu'on a pour un certain et on veut savoir si l'inégalité perdure au delà de (avant , il n'y a aucune raison que ce soit vrai)

[poiuytreza]

Oui, d'accord, je suis allé un peu trop vite, mais on peut toujours se poser la question pour

[barbu23]

ces deux ecritures sont très proches :

,
En supposant que avec , ça doit donner quelues coses d'interessant ! :happy3:
un thèoème qui permet de montrer que , est celui là :
si et alors : sur

sans besoin d'introduire ( sinon on complique les choses là ), on peut voir comme qui tend vers , pour exprimer la derivée de en : . :happy3: