Inclusion et implication ensembles

[qaterio]

Bonjour,
je souhaiterai simplement savoir si au lieu de raisonner par double inclusion pour démontrer une égalité entre ensembles, nous pourrions raisonner par double implication, car cela permettrai de mettre en évidence le raisonnement par contraposition, EXEMPLE: soient A, B et C des ensembles d'un ensemble E.
A U (B inter C)=(A U B)inter(A U C) est-il équivalent à (x appartient à A U (B inter C))<==>( x appartient à (A U B)inter(A U C)).
Merci d'avance pour vos réponses.

[aviateur]

Oui c'est (presque ça) mais il manque "tout " (tout x appartenant à )...

[qaterio]

C'est plus une assertion si on rajoute pour tout, à x appartenant à (A U B)inter(A U C)), soit Z cet ensemble, ça revient à dire pour tout x appartenant à Z. Ou alors vous voulez dire Pour tout x appartenant à E, x appartient à Z et là je comprends. Bon j'imagine que c'est ça que vous vouliez dire, mais dans ce cas, si avant la double implication on rajoute, x appartient à E, c'est bon non ? ça évite de s'embêter avec les "pour tout" qui deviennent des "il existe" etc., s'il-vous-plaît dites-moi si c'est VRAIMENT bon de mettre le x appartient à E avant les implications car alors ça faciliterait grandement les problèmes (bon là, en l'occurrence, on peut rester sur du double inclusion, la démonstration est facile).

[qaterio]

Hum, c'est bon je me suis un peu creusé la tête, il faut préciser que x appartient à E hors de l'équivalence, car sinon les assertions (en restant dans l'équivalence, sans séparer celle-ci en deux implications) n'ont aucun sens. Et en passant à la contraposée, si on veut montrer (x ap. pas à B )=> (x ap. pas A), si l'on montre que x peut appartenir A c'est qu'il existe un élément y de A tel que y n'ap. pas à B et que la contraposée est fausse (l'implication initiale aussi, donc). On a donc pas besoin de faire apparaître le 'pour tout' dans l'équivalence, mais il faut le considérer dans le raisonnement.

[qaterio]

Ok là c'est bon, j'ai totalement compris, il faut mettre le "pour tout" mais pas dans l'implication, comme ça, lorsqu'on passe à la négation, on ne peut pas avoir P et non(P), MERCI beaucoup ! (j'avais vraiment besoin de cette confirmation car la contraposée, s'il elle est choisit au moment opportun, peut énormément simplifier un problème)