Logique (ensembles totalement ordonnés par inclusion)

[nekochan]

Bonjour,

je voudrais savoir quel est le statut dans le cadre de la théorie des ensembles de la proposition suivante :

"Soient E et F deux ensembles, alors il existe une injection de E dans F ou il existe une injection de F dans E".

Est-ce un axiome ? Est-ce démontrable à l'aide d'autres axiomes ? Merci par avance pour vos commentaires !

[Doraki]

Bonjour,

je voudrais savoir quel est le statut dans le cadre de la théorie des ensembles de la proposition suivante :

"Soient E et F deux ensembles, alors il existe une injection de E dans F ou il existe une injection de F dans E".

Est-ce un axiome ? Est-ce démontrable à l'aide d'autres axiomes ? Merci par avance pour vos commentaires !

C'est une conséquence de l'axiome du choix.

Soit X l'ensemble des parties G de ExF tel que pour tout a1,a2 dans E et b1,b2 dans F, si (a1,b1) et (a2,b1) sont dans G alors a1=a2 et si (a1,b1) et (a1,b2) sont dans G alors b1=b2. (X est l'ensemble des graphes de bijections partielles entre E et F)
On ordonne X par l'inclusion.
X est inductif parceque si on a une suite croissante d'éléments de X, leur réunion est un élément de X et majore la suite.
Donc d'après le lemme de Zorn il existe un graphe maximal G dans X, et ce graphe correspond soit à une injection de E dans F (si pour tout a dans E il existe b dans F tel que (a,b) est dans G), soit à une injection de F dans E.
Si c'est ni l'un ni l'autre, alors il existe a dans E et b dans F qui sont reliés à personne donc G u {(a,b)} est dans X et donc G n'est pas maximal.

[nekochan]

Merci pour cette réponse rapide ! En fait j'aurais dû y penser ; je savais que l'on devait utiliser l'axiome du choix pour transformer "il existe une injection de E dans F" en "il existe une surjection de F dans E" et j'ai naïvement cru qu'en utilisant uniquement des injections j'arriverais à m'en débarrasser...

[Doraki]

c'est pour "surjection de E dans F" => "injection de F dans E" qu'il faut l'axiome du choix.
"injection de E dans F" => "surjection de F dans E" se fait sans.