Double inclusion, pas double inclusion :/

[Kalou94]

Bonjour à vous,

J'ai un petit problème sur les égalités (double inclusion ou pas):
J'ai deux exercices qui cherchent à démontrer une égalité et sur le premier, la correction montre l'égalité tout simplement, sur le deuxième, on montre la double inclusion (A C B et B C A) (avec C = inclu dans) :

1er exo :
Soient E, F et G trois R-espaces vectoriels, f appartient à L(E,F) et g appartient à L(F,G). Montrer que :
1) Ker(gof) = f^(-1)(Ker(g)).
2) Im(gof) = g(Im(f)).

Là on developpe un peu ce que donne Ker(gof), puis on developpe un peu ce que donne f^(-1)(Ker(g)), et on voit qu'ils sont égaux => Simple égalité.

Pour le deuxième exo :

Soient E un K-ev, p un projecteur (c'est à dire p appartient à L(E) et p² = p où p² = pop) avec id qui est l'endomorphisme de E.

1) Montrer que Im(id-p) = Ker(p).

Et là, correction :

On part de Ker(p) et on montre que c'est égal à Im(id-p), puis on part de Im(id-ip) et on montre que c'est égal à Ker(p) => double inclusion.

Quand est-ce que l'on doit considérer l'égalité comme une double inclusion, et l'égalité comme une simple égalité ? :/

Merci d'avance

[Finrod]

Raisonner par égalité c'est faire une double inclusion masqué.

Ca marche quand le cas est suffisamment simple pour écrire un raisonnement qui montrer les deux inclusions d'un coup.

Comem lorsque tu montres des propriétés, mettons que tu compare A et B, tu dois toujours montrer A implique B et l'implication (inclusion) inverse.

En général tu suis un chemin

là, deux cas, soit tu peux parcourir ce même chemin en sens inverse, auquel cas tu peux raisonner par égalité (ou équivalences), soit tu peux pas et il faut faire une double inclusion non triviale.

Donc le cas d'égalité est le cas ou tu fais une double inclusion où le chemin de l'aller est l'exact symétrique du chemin de retour.

[Kalou94]

Je vois,

heu mais juste une petite supposition :

Est-ce la prof n'a pas fait ça parce que dans le premier exo, on compare les mêmes ensembles, donc on s'intéresse + à ce qu'ils contiennent. Et pour le deuxième exo, les ensemble n'étant pas les mêmes, on fait la double inclusion ?

[Finrod]

A la base si tu dois montrer une égalité, tu ne sais pas à l'avance qu'ils sont les même.
Donc ta question est un peu étrange.

Dans les deux cas, ils s'agit de sous ensemble d'un même troisième (E pour les noyau, G pour les images)

[Kalou94]

Ok je vois, merci ! :)