Inclusion d'ensembles complémentaires

[jsr]

Bonjour à toutes et à tous,

je souhaiterais vérifier la validité de mon raisonnement pour la démonstration (ou plutôt la vérification) de la propriété suivante :

soit 2 ensembles E et F inclus dans U

si E inclus dans F alors le complémentaire de F dans U est inclus dans le complémentaire de E dans U

raisonnnement :

on pose que les éléments de E vérifient une propriété P et ceux de F une propriété Q.

E est inclus dans F, donc tout élément x de E appartient à F.
donc tout élément x de E vérifie à la fois la propriété P et la propriété Q.
donc E intersection F = E.

donc E = { x € U | P(x) et Q(x) }

donc le complémentaire de E dans U est formé des éléments de U n'appartenant pas à E c'est à dire ne vérifiant pas la propriété P ou ne vérifiant pas la propriété Q

CuE = { x € U | non [ P(x) et Q(x)] }

CuE = { x € U | non P(x) ou non Q(x) }

or CuF = { x € U | non Q(x) } et CuE = {x € U | non P(x)}

donc CuE = CuE U CuF

on peut donc conclure CuF est inclus dans CuE.

j'ai bon ?

[Maxmau]

Bj
Pourquoi vouloir définir un ensemble comme l'ensemble des éléments vérifiant une certaine propriété. Ca ne fait que compliquer les choses.
hyp: E inclus dans F
conc: complémentaire de F inclus ds complémentaire de E
preuve: soit x dans le complémentaire de F. x n'est pas ds F. L'hyp implique alors que x n'est pas non plus dans E. x est donc ds le complémentaire de E. Tout x du complémentaire de F est ds le complémentaire de E. cqfd

En plus tu passes par les caractérisations suivantes: E inclus ds F équivaut à E = E inter F ou encore à E union F = F ce qui n'est pas plus évident que ce que tu as à démontrer.

Pour ma part un simple schema (Venn ou Caroll) suffit à me convaincre (mais y en a qui trouvent que c'est pas rigoureux)

[jsr]

merci pour ta réponse.

Bj
Pourquoi vouloir définir un ensemble comme l'ensemble des éléments vérifiant une certaine propriété. Ca ne fait que compliquer les choses.
hyp: E inclus dans F
conc: complémentaire de F inclus ds complémentaire de E
preuve: soit x dans le complémentaire de F. x n'est pas ds F. L'hyp implique alors que x n'est pas non plus dans E. x est donc ds le complémentaire de E. Tout x du complémentaire de F est ds le complémentaire de E. cqfd

En plus tu passes par les caractérisations suivantes: E inclus ds F équivaut à E = E inter F ou encore à E union F = F ce qui n'est pas plus évident que ce que tu as à démontrer.

Pour ma part un simple schema (Venn ou Caroll) suffit à me convaincre (mais y en a qui trouvent que c'est pas rigoureux)