Image d'une union par une application réciproque

[mmestre]

Bonjour,

Une deux petites questions simples sur les applications :

J'ai deux espaces topologiques X et Y, et A (B) une partie de X (Y), respectivement.
J'ai une application .

1) J'ai eu besoin de montrer que .

Pour cela, suffit-il d'invoquer le fait qu'une telle relation est vraie pour toute application (réciproque ou pas) ? - est-ce vrai d'ailleurs ?
J'ai fait une démonstration dans mon cas particulier ; était-ce nécessaire ?

2) Puis-je généraliser cette relation à une union quelconque (pas forcément finie ou dénombrable) sans prendre de précautions particulières ?

Merci pour vos conseils !

[emdro]

Bonjour,

attention, tu sembles croire que est l'image de par l'application .

Il n'en est rien, pour la bonne raison que n'existe pas toujours.

Lorsque est bijective, est bien l'image de par l'application , mais sinon, reste bien défini, alors que n'a aucun sens.

Il faut donc faire une autre démonstration que ce que tu proposes.

[mmestre]

Merci pour votre réponse. Je vais préciser un peu le contexte alors.

Je cherche à montrer l'implication suivante :
Pour tout et pour tout voisinage W de dans Y , est un voisinage de x dans X
f continue


Voici ma tentative de démonstration :


Supposons que pour tout et pour tout voisinage W de dans Y, est un voisinage de x dans X. Montrons que f est continue.

Soit V un ouvert de Y . Montrons que est un ouvert de X.
V étant un ouvert, on peut l'écrire comme union de boules ouvertes : où est une famille de points de U et est une famille de réels positifs.

Je veux maintenant démontrer la relation suviante, qui m'arrangerait bien à ce stade pour appliquer à l'union ci-dessus :



--

1) Soit . Il existe tel que . Si , . Si , . Donc .

2) Soit . Donc ou . Donc et .


Est-ce que jusque-la ça vous semble correct ?

[mmestre]

Emdro, je crois comprendre ce que vous voulez dire maintenant :

n'est pas une application, c'est le symbole des images réciproques de l'application f.

On ne peut donc lui appliquer les théorèmes et autres résultats obtenus pour les applications..

N'est-ce pas ?

[MathMoiCa]

Salut,

Pour une application f de X dans Y, on définit comme étant , pour tout A dans X.

@ mmestre : f n'est pas forcément continue !

Je crois que ce que tu cherches à montrer est une des formules de Haussdorff (on l'a appelé comme ça)

Et on la montre ainsi :
Soit un élément x de . Donc
Donc f(x) appartient à A ou à B. Donc x appartient à ou
--->

Mais tous les 'donc' précédents sont en fait des équivalences (si ça t'amuse tu peux le réécrire pour l'autre sens...)

Donc y a égalité.


M.

[MathMoiCa]

Pour cela, suffit-il d'invoquer le fait qu'une telle relation est vraie pour toute application (réciproque ou pas) ? - est-ce vrai d'ailleurs ?

Je crois pas que ce soit vrai, mais je n'ai pas d'exemple en tête...


M.

[emdro]

Emdro, je crois comprendre ce que vous voulez dire maintenant :

n'est pas une application, c'est le symbole des images réciproques de l'application f.

On ne peut donc lui appliquer les théorèmes et autres résultats obtenus pour les applications..

N'est-ce pas ?

Exactement!

Pour répondre aux autres questions:
*c'est vrai l'image directe d'une réunion est la réunion des images directes.
*OK pour la généralisation à une réunion (même infinie) à la fois en images directes, et en images réciproques.

[mmestre]

Merci à tous, ça me parait maintenant bien plus clair.

Donc je vais pouvoir appliquer mon à l'union de boules ouvertes puis utiliser la continuité de f en tout point pour montrer la continuité "standard"..

Super.

[emdro]

--

1) Soit . Il existe tel que . Si , . Si , . Donc .

2) Soit . Donc ou . Donc et .


Est-ce que jusque-la ça vous semble correct ?

Oui ce raisonnement est correct.

Mais tu te compliques un peu la vie en écrivant par exemple: . Il existe tel que

Tu as calqué le raisonnement sur les images directes, pour lesquelles on est obligé de recourir à des "il existe" puisque par définition:


Mais pour les images réciproques, c'est beaucoup plus simple.
.

Donc se traduit directement par .

De ce fait, tu remarqueras qu'il existe des formules pour les images réciproques qui ne sont pas valables pour les images directes. Avec l'intersection par exemple.

[mmestre]

Ah oui merci je n'y avais pas pensé !