Idéaux, anneaux et modules

[Archytas]

Salut,
Dans un bouquin que je lis j'ai quelques soucis pour comprendre un argument de l'auteur.
On pose un morphisme d'anneaux. On dit ensuite que tout B-module peut être muni d'une structure de A-module via en posant . Jusque là ça va.
Ensuite on dit qu'en prenant un idéal gauche de , on pose l'idéal à gauche de engendré par Déjà j'ai un peu de mal à comprendre pourquoi EST l'idéal engendré par notamment la stabilité par addition... Mais bon passons, ensuite on dit que c'est l'image par l'homomorphisme canonique de B-modules .
D'où sort ce morphisme ? (je connais pas hyper bien les produits tensoriels). J'ai essayé de trouver une application A-bilinéaire : pour la faire commuter via la propriété universelle du produit tensoriel mais j'arrive pas à justifier la bilinéarité. Et ensuite pour dire qu'un produit tensoriel est un B-module on doit pas avoir tous les membres de ce produit qui soient eux mêmes des B-modules ? ça ne contredit pas le "A" sous ?
Merci d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
A mon avis (et surtout vu la suite du laïus) le problème est (comme toujours...) un problème de définition et je pense que, dans le bouquin en question, ils prennent comme définition du produit (avec X une partie quelconque de B) que c'est l'idéal à gauche engendré par X, c'est à dire l'ensemble des sommes (finies) d'éléments de la forme avec et .

Sinon, concernant le cas général des produit tensoriels, sauf erreur, pour pouvoir former le produit tensoriel il faut que soit un -module à droite et que soit un -module à gauche. Si on a que ça, alors est simplement un groupe additif, c'est à dire en fait un Z-module.
Par contre, si en plus est un -module à gauche alors est naturellement muni d'une structure de -module à gauche (par multiplication de la première coordonnée à gauche).
De même, si est un -module à droite alors est naturellement muni d'une structure de -module à droite.

Bref, dans ton cas existe car B est un A-module à droite (via ) et I est un A-module à gauche. De plus, comme B est aussi un B-module à gauche ton est un B-module à gauche avec évidement comme définition de la multiplication pour tout .

Et sinon, je comprend pas bien ce que tu cherche à faire avec ton application bilinéaire : vu les données (à savoir que B est un A-module à droite (via ) et que I est un A-module à gauche) la "théorie théorique" te dit que ton produit tensoriel va exister avec comme "propriété de définition" que pour tout

[zygomatique]

salut

si f : A --> B est un morphisme d'anneau et I un idéal (à gauche) de A alors f(I) est un idéal (à gauche) du sous-anneau f(A) mais pas forcément de B

par contre l'ensemble Bf(I) devient un idéal de B

donc f(I) est une famille d'éléments de B et l'ensemble Bf(I) = {bf(i) / b dans B et i dans I} est donc l'idéal engendré par f(I)

la démonstration ne me semble pas très compliquée : il suffit d'appliquer proprement la définition d'un idéal ...


pour la suite et le produit tensoriel c'est trop loin et ça dépasse mes compétences ... malheureusement ...

[Ben314]

... et l'ensemble Bf(I) = {bf(i) / b dans B et i dans I} est donc l'idéal engendré par f(I)
la démonstration ne me semble pas très compliquée : il suffit d'appliquer proprement la définition d'un idéal ...

Ah oui ?
Et tu la démontre comment la stabilité par addition :

Bref, bis et répéta : je suis persuadé vu le contexte que Bf(i) ne désigne pas l'ensemble des bf(i) avec b dans B et i dans I, mais l'ensemble des sommes (finies) de tels éléments.

[zygomatique]

je l'ai effectivement mal écrit (surtout quand j'ai vu ton msg ensuite enfin qui est avant) mais c'est ainsi que je le voyais ... comme pour les familles génératrices infinies et les espaces vectoriels en dimension infinie

j'ai même failli corrigé immédiatement (et sans voir ton msg au départ) puis après avoir vu ton msg je me suis dit que tu ferais ton travail !!! de me corriger ...

[Archytas]

Salut,
A mon avis (et surtout vu la suite du laïus) le problème est (comme toujours...) un problème de définition et je pense que, dans le bouquin en question, ils prennent comme définition du produit (avec X une partie quelconque de B) que c'est l'idéal à gauche engendré par X, c'est à dire l'ensemble des sommes (finies) d'éléments de la forme avec et .[/tex]

C'est ce que j'ai fini par me dire mais ce n'est pas précisé dans le livre...

Sinon, concernant le cas général des produit tensoriels, sauf erreur, pour pouvoir former le produit tensoriel il faut que soit un -module à droite et que soit un -module à gauche. Si on a que ça, alors est simplement un groupe additif, c'est à dire en fait un Z-module.
Par contre, si en plus est un -module à gauche alors est naturellement muni d'une structure de -module à gauche (par multiplication de la première coordonnée à gauche).
De même, si est un -module à droite alors est naturellement muni d'une structure de -module à droite.[/tex]

Pour ce que j'en sais du produit tensoriel, en considérant deux A-modules à gauche on peut former un unique A-module à gauche tel que pour toute application bilinéaire avec un A-module à gauche, on peut trouver une unique application linéaire telle que
C'est pour ça que je voulais trouver une application bilinéaire ; obtenir un homomorphisme "naturel"

Bref, dans ton cas existe car B est un A-module à droite (via ) et I est un A-module à gauche. De plus, comme B est aussi un B-module à gauche ton est un B-module à gauche avec évidement comme définition de la multiplication pour tout .

Et sinon, je comprend pas bien ce que tu cherche à faire avec ton application bilinéaire : vu les données (à savoir que B est un A-module à droite (via ) et que I est un A-module à gauche) la "théorie théorique" te dit que ton produit tensoriel va exister avec comme "propriété de définition" que pour tout

Ah oui je n'avais pas pensé qu'on pouvait définir une structure B-module sur notre produit tensoriel par dessus sa structure de A-module... Je suis donc bien convaincu de la structure de B-module sur déjà ça de gagné
Et donc notre application c'est:
?
Je vois... donc là avec ce que tu as défini comme structure de B-module sur le produit tensoriel on a bien un morphisme de B-modules, ce qui me gênait c'est qu'on a pas un morphisme de A-module si on choisit B comme un A-module à gauche (par contre ça marche si on prend B comme A-module à droite, mais ça casse la tête parce qu'alors B est un A-module à droite et est un idéal à gauche et la structure de A-module gauche sur est ).

Olala c'est le deuxième paragraphe de la première page des 50 pages de préliminaire du livre... je crois que je vais aller m'allonger sur l'autoroute, en tout cas merci pour votre patience et vos lumières !

[Ben314]

Pour ce que j'en sais du produit tensoriel, en considérant deux A-modules à gauche on peut former un unique A-module à gauche tel que ...[/tex]
C'est pour ça que je voulais trouver une application bilinéaire ; obtenir un homomorphisme "naturel"

Déjà, à mon avis, faudrait au minimum que tu revois la définition du produit tensoriel (dans le cas non commutatif bien sûr) vu que ça m'étonnerais que tu puisse faire le produit tensoriel de deux A-modules tout les deux à gauche (ou alors tu tensorise par Z et pas par A). La définition "évidente" dans le cas non commutatif, c'est clairement et ça dit bien ce que ça veut dire...

...tel que pour toute application bilinéaire avec un A-module à gauche, on peut trouver une unique application linéaire telle que

Ensuite, dans le cas non commutatif, "bilinéaire" tout seul, ça veut pas dire grand chose et si tu décrète (par définition) qu'une application bilinéaire f doit vérifier f(x,a.y)=a.f(x,y), tu vois bien que ça va pas marcher vu que tu as fait "commuter" ton a avec le x.
Donc bis et répétat, en non commutatif, le contexte "qui marche bien", c'est celui où E est un B-module à gauche et un A-module à droite et où F est un A-module à gauche et un C-module à droite et où la notion d'application "bilinéaire" est à remplacer par celle de fonction f:ExF->M additives en chaque variables et telles que f(b.x,y)=b.f(x,y) ; f(x.a,y)=f(x,a.y) et f(x,y.c)=f(x,y).c. Évidement tout ça avec M qui est un B-module à gauche et un C-module à droite et où la fameuse unique fonction va être B-linéaire à gauche et C-linéaire à droite.

Et donc notre application c'est:
?

Oui, l'application "bilinéaire" canonique dont on part, c'est effectivement qui est effectivement additive en chaque variable et qui vérifie f(b.x , y) = b.f(x,y) et f(x.a , y) = f(x, a.y).

[Archytas]

Ok très bien, je viens de voir que dans mes références le produit tensoriel est défini sur des R-modules avec R commutatif, tu aurais une référence pour les modules sur des anneaux non nécessairement commutatifs ? Même sur wikipédia ils prennent des anneaux commutatifs

[Ben314]

P'têt bourbaki, mais j'ai même pas regardé : déjà que des produit tensoriels, même en commutatif, je suis pas mal une bille vu que j'en utilise rarement, en non commutatif, tout ce que je sais faire, c'est de me remémorer les définitions et preuves du cas commutatif pour voir comment les adapter en non commutatif.

Sinon, j'ai l'impression qu'un truc qui fixe bien les idées c'est le cas des matrices :
- L'ensemble des matrices carrées , c'est un anneau (non commutatif).
- L'ensemble des matrices rectangulaires , c'est naturellement un -module à gauche et un -module à droite.
- L'application produit est bien additive en chaque variable et vérifie avec des matrice rectangulaires (de taille adaptées) donc des éléments des A-modules et des matrices carrées (de taille adaptées) donc des éléments des anneaux.

Et à mon sens, la théorie, ben faudrait qu'elle soit adaptée pour englober ce cas là qui semble le plus simple de tous en ce qui concerne des anneaux non commutatif et des A-modules.

[Archytas]

J'ai jamais vu cette condition apparaître nulle part, certainement parce que je débute en module et parce que tous mes ouvrages traitent le cas commutatif et avec le même anneau ! Merci pour tes explications en tout cas (:

[Ben314]

Dans le cas commutatif, y'a plus de notion de opère "à droite" ou "à gauche" : si au départ mettons que ça opère "à gauche" alors tu peut évidement définir x.a (x dans le module, a dans l'anneau) comme étant égal à a.x et y'a aucun problème.
Alors que dans le cas non commutatif, ça déconne vu que, si ça opère "à gauche", alors, par définition, ça signifie que a.(a'.x)=(aa').x et que si tu défini x.a comme étant égal à a.x, ben ça déconne vu que ça donne a.(a'.x)=(a'a).x qui va être en général différent de (aa').x donc le truc que tu as défini, ben c'est pas une opération à droite.

Donc, pour en revenir au sujet, si tu regarde les trois conditions :

Dans le cas commutatif, elles s'écrivent sous la forme

Et ce que tu constate, c'est que :
- Les trois anneaux A,B,C éventuellement différents du cas non commutatif ben ici, c'est logiquement 3 fois le même.
- La condition (2') est une simple déduction des conditions (1') et (3') donc n'a pas à apparaitre dans le définition de "bilinéaire". Et ça explique évidement que tu trouvera jamais la condition (2') nulle part dans le cas commutatif.