Idéaux premiers - Modules de type fini

[L.A.]

Bonjour à tous.

Je cherche à prouver que tout morphisme fini de schémas vérifie que est fini pour tout (ex II.3.5.a dans Hartshorne, Algebraic geometry)

Cela revient à montrer que, étant donné un morphisme d'anneaux tel que B est un A-module de type fini, pour tout idéal premier de A, l'ensemble des idéaux premiers de B tels que est fini.

Mais je n'arrive pas à utiliser l'hypothèse "A-module de type fini". J'ai essayé d'écrire où I est un idéal d'une forme particulière (qui contient des éléments de la forme pour tous i,j) et de passer par des idéaux premiers contenant I mais ça ne donne rien. Avez-vous des idées ? Merci.