Idéaux et anneaux

[Sylar]

Rebonjour,

voila je bloque sur cet exo:

Soit A un anneau commutatif .On considère 2 idéaux I et J .

1/Montrer que : I U J est un idéal <=> I C J ou J C I

2/Soient I,J,K trois idéaux.On suppose qu'aucun idéal n'est inclus dans la réunion des 2 autres et que K est un idéal premier.Montrer qu'il existe i appartenant a I,j appartenant a J tels que : i.j n'appartient pas a K.
En déduire que I U J U K n'est pas un idéal .

Merci ....

[kazeriahm]

salut

pour la 1),

le sens réciproque est évident car I U J = I ou J

sens direct: I, J et I U J sont des sous groupes de (A,+) (en tant qu'idéaux)

supposons (contraposée) que I n'est pas inclus dans J et que J n'est pas inclus dans I

alors il existe i et j dans I et J tel que i n'est pas dans J et j n'est pas dans I

je te laisse finir ?!

[Blueberry]

Bonsoir,

pour le 2)

tu choisis i (resp. j) dans I (resp. J) mais n'appartenant ni à J (resp. I), ni à K.

Ensuite pour déduire la conclusion tu choisis k dans K mais n'appartenant ni à I, ni à J. Tu considères alors l'élément ij + k ...