[MPSI] Idéaux d'un anneau

[Anonyme]

Salut à tous

avant tout je rappellerais la définition d'un idéal d'un anneau :
Soit A un anneau commutatif intégre, d'élement neutre 0a et d'élement unité
1a. U(A) est l'ensemble des inversibles de A.
Une partie I de A est appelée idéal de A si I est non vide, stable par
addition et vérifie :
(pour tout i élement de I)(pour tout a élément de A)( ia élement de I)

Je dois montrer que :
* Si a est un élément fixé de a alors aA = {ax / x E A} est un idéal de A
(E c'est element)
* Soit X une partie de A : montrer que l'ensemble Ix des idéaux qui
contiennent X est non vide. Montrer que Ix possède un minimum au sens de
l'inclusion. Ce minimum est appelé idéal engendré par X.
Enfin, montrer que l'idéal engendré par {a} est aA.

Un coup de main serait sympathique, car je patauge !

[Anonyme]

> * Si a est un élément fixé de a alors aA = {ax / x E A} est un idéal de A
> (E c'est element)

La vérification de la définition est simple... Essaie encore un peu tout
seul!

> * Soit X une partie de A : montrer que l'ensemble Ix des idéaux qui
> contiennent X est non vide. Montrer que Ix possède un minimum au sens de
> l'inclusion. Ce minimum est appelé idéal engendré par X.
> Enfin, montrer que l'idéal engendré par {a} est aA.

Ix est non vide car A est dedans (ne pas oublier que A est un idéal de
A...).
Ensuite, quand tu as des idéaux, comment en trouver un qui soit inclus dans
tous?

--
Maxi

[Anonyme]

> Un coup de main serait sympathique, car je patauge !
>

Pinocchio, mon ami !!!

[Anonyme]

> * Soit X une partie de A : montrer que l'ensemble Ix des idéaux qui
> contiennent X est non vide. Montrer que Ix possède un minimum au sens de
> l'inclusion. Ce minimum est appelé idéal engendré par X.
> Enfin, montrer que l'idéal engendré par {a} est aA.
>

Tiens au fait sur le même modèle tu peux trouver l'idéal engendré par n
éléments {a1,...,an}.

[Anonyme]

> Je dois montrer que :
> * Si a est un élément fixé de a alors aA = {ax / x E A} est un idéal de A
> (E c'est element)


J'ai fait :

Déjà aA est non vide (O.a E A).
aA est stable par + (trivial)

Soit b E aA, x E a, on a
(pour tout b E aA)(pour tout x E A)(bx E aA)

Correct ?

[Anonyme]

> Déjà aA est non vide (O.a E A).
> aA est stable par + (trivial)

En fait on pourrait dire qu'il est trivial que aA est un idéal... Je pense
que dans ce genre de question on te demande de tout détailler une fois pour
toute.
De plus aA est sensé être un sous-groupe de A, donc il faut aussi vérifier
la stabilité par passage à l'opposé.

> Soit b E aA, x E a, on a
> (pour tout b E aA)(pour tout x E A)(bx E aA)
>
> Correct ?

C'est vrai, mais tu as écrit "c'est vrai donc c'est vrai"... Même si le
calcul est simple je pense qu'on te demande de l'écrire en entier.

--
Maxi

[Anonyme]

[color=green]
> > Déjà aA est non vide (O.a E A).
> > aA est stable par + (trivial)
>
> En fait on pourrait dire qu'il est trivial que aA est un idéal... Je pense
> que dans ce genre de question on te demande de tout détailler une fois[/color]
pour
> toute.
> De plus aA est sensé être un sous-groupe de A, donc il faut aussi vérifier
> la stabilité par passage à l'opposé.
>[color=green]
> > Soit b E aA, x E a, on a
> > (pour tout b E aA)(pour tout x E A)(bx E aA)
> >
> > Correct ?
>
> C'est vrai, mais tu as écrit "c'est vrai donc c'est vrai"... Même si le
> calcul est simple je pense qu'on te demande de l'écrire en entier.[/color]

C'est justement ce que je ne parviens pas à "voir". J'ai pas encore fait
d'exos sur les anneaux etc et bref, je patauge un peu (je mentais pas du
tout), de même que pour le minimum de Ix au niveau de l'inclusion...


Et aussi plus tard pour donner le groupe des inversibles de Z[i] (voici mon
calcul) :

(a + ib)(a'+ib') = 1
(a'+ib') = 1 / (a+ib)
(a'+ib') = (a-ib) / (a²+b²)

a - ib E Z[i]
(a' + ib') E Z[i] a² + b² = 1
Soit |a+ib| = 1

Les élements inversibles de Z[i] sont donc les éléments de module 1, et leur
forme est :
(a-ib) / (a²+b²)

On en dénombre 4 :
i (a = 0, b=1) d'inverse -i
1 (a = 1, b=0) d'inverse 1
-1 (a=-1, b=0) d'inverse -1
-i (a=0, b=-1) d'inverse i

c'est ca ?

[Anonyme]

On Thu, 18 Dec 2003 11:29:44 +0100, "VS" wrote:

>

> Et aussi plus tard pour donner le groupe des inversibles de Z[i] (voici mon
>calcul) :
>
> (a + ib)(a'+ib') = 1
en fait en passant au module carré tu as tout de suite
(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)=1
donc nécessairement a^2+b^2=1
donc que 4 possibilités -1,1, i,- i qui sont effectivement inversibles
> (a'+ib') = 1 / (a+ib)
> (a'+ib') = (a-ib) / (a²+b²)
>
>a - ib E Z[i]
>(a' + ib') E Z[i] a² + b² = 1
>Soit |a+ib| = 1
>
>Les élements inversibles de Z[i] sont donc les éléments de module 1, et leur
>forme est :
>(a-ib) / (a²+b²)
>
>On en dénombre 4 :
>i (a = 0, b=1) d'inverse -i
>1 (a = 1, b=0) d'inverse 1
>-1 (a=-1, b=0) d'inverse -1
>-i (a=0, b=-1) d'inverse i
>
>c'est ca ?
>
>

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Pichereau Alain

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[Anonyme]

J'ai réussi à tout faire sauf :

Montrer que l'idéal engendré par {a} est aA (aA = { ax / x E A et a fixé}

[Anonyme]

"VS" a écrit dans le message de news:
3fe1fe02$0$17135$626a54ce@news.free.fr...
> J'ai réussi à tout faire sauf :
>
> Montrer que l'idéal engendré par {a} est aA (aA = { ax / x E A et a fixé}
>

Bonsoir,

(Je sais plus les hypothèses j'imagine qu'on prend A anneau commutatif comme
ça on travaille sur des idéaux bilatères).

L'idéal engendré par {a} (appelons-le I) contient {a}, et par la propriété
d'absorption, on a: x.a = a.x appartient à I pour tout x dans A. Donc A.a =
a.A est inclus dans I.
Maintenant si tu vérifies que a.A est effectivement un idéal alors ce sera
le plus petit idéal de A contenant {a} (ie ce sera I). Si x et y sont dans
a.A, alors x = ax' et y = ay', et x-y = a(x'-y') appartient à a.A qui est
donc un groupe (abélien, trivial). Reste la propriété d'absorption: tu
prends r dans A, et x = ax' dans a.A, alors rx = rax' = a(rx') qui est bien
dans a.A. Donc a.A est un idéal de A, et I = a.A.

--
J.S

[Anonyme]

> Maintenant si tu vérifies que a.A est effectivement un idéal alors ce sera
> le plus petit idéal de A contenant {a} (ie ce sera I).

C'est ca que je comprends pas, désolé je vais passer pour un cancre, mais je
voudrais bien comprendre, est-ce ce qui est démontré après ou alors c'est
dit comme ca ?

[Anonyme]

> > Maintenant si tu vérifies que a.A est effectivement un idéal alors ce
sera[color=green]
> > le plus petit idéal de A contenant {a} (ie ce sera I).
>
> C'est ca que je comprends pas, désolé je vais passer pour un cancre, mais[/color]
je
> voudrais bien comprendre, est-ce ce qui est démontré après ou alors c'est
> dit comme ca ?

Tout idéal contenant {a} contient aA, donc si aA est un idéal, c'est le plus
petit contenant {a}, puisqu'il est inclus dans tous les autres.

--
Maxi