Anneau des polynômes et idéaux

[Dyo]

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre un exercice, si quelqu'un pouvait m'éclairer

Soient un corps, l'anneau des polynômes en et enfin un idéal de .
1) Montrer que si engendre comme idéal de alors engendre comme idéal de .
La différence entre et , c'est que les coefficients de leurs éléments sont respectivement dans et ?

2) Déduire que est principal. Je comprends pas bien parce que on a seulement une implication mais ca ne dit pas que tous les sont principaux...
J'ai pensé à faire par contraposée, mais je n'arrive pas à une contradiction ^^

Merci pour votre aide

[ThSQ]

1) Si alors

2) conclusion logique de 1



PS Sympa ce cas d'anneau de polynomes à plusieurs variables et principal :happy2:

[Dyo]

Ok je comprends la 1) merci.

Maintenant pour la 2) pourquoi ca découle de la 1) ??

Dans la 1) on a montré : Si engendre comme idéal de ] alors engendre comme idéal de . Rien nous dit que les sont engendrés par 1 seul élément... On a juste l'implication que si ils sont engendrés par 1 élément alors...

Tu me comprends ? :p

[yos]

Bonjour.
K[X] serait pas principal?

[Dyo]

Salut Yos,

ah oui, K est un corps => K[X] principal...

Ouhla j'ai du mal à me mettre dedans, merci bien ;)

[ThSQ]

K est un corps => K[X] principal.

Que penses-tu de la réciproque Dyo :

A un anneau (commutatif unitaire intègre)
A[X] principal => A est un corps ?

Edit : Tiens d'ailleurs l'hypothèse intègre n'est pas indispensable, elle découle de A[X] principal facilement

[Dyo]

J'ai un exercice où on demandait la réciproque (en plusieurs étapes).
Donc la réciproque est vraie.

A un anneau (commutatif unitaire intègre). Soient ,
l'idéal de engendré par et .
1) Supposer qu'on peut engendrer par un seul élément. Montrer que
est une unité.
2) Montrer que est principal est un corps.

Voilà ce que j'ai fait :

1)
Supposons . On a or donc . De plus donc On a donc .

2)
Si est principal. Comme est un idéal de on a . Donc d'après 1) on a : Donc A est un corps.

[leon1789]

1) Supposer qu'on peut engendrer par un seul élément. Montrer que
est une unité.


Voilà ce que j'ai fait :

1)
Supposons . On a or donc . De plus donc On a donc .

Pourquoi écris-tu ? c'est juste, mais ça sert à quoi ?
n'implique pas .

Je te propose cela (c'est proche de ta réponse)
Supposons .

-- L'inclusion donne P divise a et X.
P divise a donc P constant non nul, et ensuite P divise X donc P divise le coeff dominant de X, donc P divise 1, donc P inversible dans A.

-- L'inclusion réciproque donne avec et polynômes.
En évaluant en X en 0, on voit que a divise P(0).

-- Conclusion : comme P=P(0) constant inversible dans A et que a divise P(0), on a bien .

[Dyo]

n'implique pas .

J'm'en suis rendu compte en me relisant :briques:

Merci pour ta solution, elle est bien claire :++: