Idéal principal

[Ncdk]

Bonjour,

Soit l'ensemble des applications de dans , muni de l'addition et du produit standard.

- Montrer que est un anneau. (FAIT)
- Montrer que est un idéal de . (FAIT)
- est-il un idéal principal de ?

J'ai un problème pour cette question, ce que je dois montrer en fait c'est que pour un certain de

Mais je me demande comment faire, c'est-à-dire déjà par commencer par prendre un représentant de chaque classe, donc une fonction et ?
Ensuite je vois pas comment avancer.

[zygomatique]

salut

essaie déjà avec x = 0 éventuellement ...

et considère par exemple les fonctions f(x) = x et g(x) = sin x .... peut-être ...



une remarque peut-être : F(R, R) est un espace vectoriel ...

[Ben314]

Salut,
Attention, on ne te demande pas de montrer que I est principal, on te demande s'il l'est ou pas...
Et évidement, si tu cherche comment prouver qu'il l'est alors qu'il ne l'est pas, tu risque d'y être encore dans un bon moment...
En reformulant la question en terme plus simple, a ton avis, existe-t-il une fonction g:R->R s'annulant en a telle que toutes les fonctions f s'annulant en a soient de la forme g.h pour une certaine fonction h ?
Indication : Si on connaissait la fonction g et la fonction f, a quoi devrait être égal h ?

[Ncdk]

Salut,

Au vu de la question du moins de l'exercice, je me suis dit que c'était la première fois qu'on me posé cette question, puis plus tard dans un autre type de question on me repose la question, je me suis dit que c'était oui pour le premier et non pour le deuxième.
Mais bon, faisons comme si je n'avais aucune idée.

Je pense que notre fonction h peut s'écrire f/g
Mais le problème est que si g s'annule en a, cela pose un problème, ou alors j'ai pas la bonne fonction h.

[L.A.]

Bonsoir,

si je ne suis pas une chèvre, il est principal.

Tu peux penser à des fonctions indicatrices.

[Ben314]

Je pense que notre fonction h peut s'écrire f/g
Mais le problème est que si g s'annule en a, cela pose un problème, ou alors j'ai pas la bonne fonction h.

g est obligé de s'annuler en a vu qu'il faut qu'elle soit dans I, mais si on prend une fonction g qui ne s'annule QUE en a (n'importe laquelle) alors il suffit effectivement de prendre h(x)=f(x)/g(x) pour tout x différent de a pour avoir f(x)=g(x)h(x) pour tout x différent de a.
Or, pour x=a, on a g(a)=0 mais on a forcément aussi f(a)=0 vu que f est dans I. Donc on peut prendre n'importe quoi pour h(a), de toute façon on aura f(a)=g(a)h(a).
Donc I est effectivement principal et est engendré par n'importe quelle fonction g ne s'annulant QUE en a.

Si tu veut chercher un peu plus compliqué, qu'en aurait-il été si on avait pris comme anneau A celui des fonctions continues de R dans R ?

[Ncdk]

D'accord je te remercie pour ta réponse.

Concernant l'exemple plus compliqué, j'ai eu une idée, ça ressemble un peu à ce qu'on a fait, mais faut trouver des fonctions qui tendent vers 0, mais dont leur quotient ne tend pas vers 0, +infini par exemple, ça prouvera la non continuité, donc une absurdité.

Du style : h(x)=f(x)g(x) avec h, f et g continue, ensuite on s'intéresse à g(x)=h(x)/f(x) par exemple.
Supposons que la limite quand x tend vers a de f(x) = 0 et celle de h pareil, mais je me suis dit, pourquoi pas prendre elle est continue, y a pas de soucis à ce niveau, du coup on voit clairement que la limite quand x tend vers a de h(x) = +infini.
Alors que limite de f et g sont nulles.

ça prouve que h n'est pas continue comme on a pu la dire plus haut, c'est ce qui fait que c'est absurde, d'où non principale !