Idéal principal

[wonderfuldream]

bon ben j'ai pas tout compris mais merci quand meme de m'aoir aidé

[adrien69]

Bon je rédige au propre.

On appelle I l'idéal engendré par X et n, avec n>1, I n'est pas égal à Z[X] (on dit qu'il est propre) car par exemple 2n+1 n'appartient pas à I. En effet, n>1 et 2n+1 et n sont premiers entre eux. Si 2n+1 s'écrivait aX+bn, cela assurerait par unicité de l'écriture polynmiale que bn vaudrait 2n+1 (avec b>1), on contredirait la primalité du couple (n,2n+1).

Désormais supposons que I est principal, c'est-à-dire engendré par un élément P.
On a dès lors P|X et P|n car n et X sont dans (P).

Ce qui nous assure :
1) que d°P=0 <- P|n
2) qu'il existe Q dans Z[X] tel que X=PQ

d°X=1, on en déduit puisque Z est un anneau intègre que d°Q+d°P=d°Q=1 => Q=aX+b
L'unicité de l'écriture polynomiale et l'intégrité de Z assure alors que b=0 et que Pa=1,

Donc P est inversible dans Z[X], (or les éléments inversibles de Z[X] sont exactement les éléments inversibles de Z, ie -1 et 1, donc P=1 ou P=-1)
On en déduit de toute façon que I=(P)=Z[X] car I contient un élément inversible. Et on avait montré au départ que ce n'était pas le cas.

QED.

[wonderfuldream]

merci et bonne nuit :)