Idéal principal

[wonderfuldream]

Bonjour ,
je n'arrive pas à prouver que l'ideal (X,n) avec n>1 de Z[X] n'est pas principal
;) si quelqu'un pourrait m'aider !
merci

[mr_pyer]

Résonne par l'absurde :
Si ton idéal est principal alors il existe un élément tel que .
Quel est le degré de ?
Peut-on obtenir ?

[adrien69]

Par l'absurde :
Si I=(X,n) est principal alors il existe a dans Z tel que I=(a), en effet, soit P le polynôme engendrant I, comme X est un polynôme unitaire il est possible de l'utiliser pour la division euclidienne. Le reste de P par la division par X étant de degré strictement inférieur à 1 et appartenant à I, on en déduit que P=cte=a.

Maintenant, on a n est dans I, mais tout nombre qui n'est pas un multiple de n n'y est pas car n>1. Par exemple 2n+1. Néanmoins, X est dans I, donc il existe Q un polynôme tel que aQ=X, donc d°Q=1 et Q=bX+c.
On en déduit que a est inversible, donc a=1 ou -1. Or l'idéal est propre (2n+1 n'y appartient pas), donc c'est absurde.

[wonderfuldream]

le degré de A est égal au degre de CX + Bm par exemple

[adrien69]

Euclide te déshériterait si seulement il savait. :marteau:

[mr_pyer]

Pas vraiment, en tous cas il est de degré inférieur (sauf si C et B sont nuls). Donc si C=0 on en déduit... ?

[wonderfuldream]

que le degré de A est 0

[mr_pyer]

que le degré de A est 0

Oui donc A est en fait un entier relatif non nul.

[adrien69]

Vous oubliez dire que c'est parce que X est un polynôme unitaire qu'on peut assurer que tout générateur de l'idéal est de degré 0.

[wonderfuldream]

Ok ... donc A entier relatifs mais je vois pas la suite ?

[mr_pyer]

Ok ... donc A entier relatifs mais je vois pas la suite ?

Donc on peut le noter a et le supposer >0.
X est dans l'idéal donc c'est un multiple de a. Donc là on peut savoir ce que vaut a.

[mr_pyer]

Vous oubliez dire que c'est parce que X est un polynôme unitaire qu'on peut assurer que tout générateur de l'idéal est de degré 0.

Je ne te suis pas, si l'on remplace X par 2X, n appartient encore à l'idéal donc A est nécessairement de degré 0 non ?

[adrien69]

Je ne te suis pas, si l'on remplace X par 2X, n appartient encore à l'idéal donc A est nécessairement de degré 0 non ?

Prouve-le.
Franchement c'est pas évident. Alors qu'avec la division euclidienne...

[mr_pyer]

Prouve-le.
Franchement c'est pas évident. Alors qu'avec la division euclidienne...

n appartient à l'idéal engendré par n et X, si l'on suppose que l'idéal est engendré par A, il existe un polynôme P tel que n = A(X)P(X), ainsi A est de degré 0 je ne vois pas le problème...

[adrien69]

Ah oui, Z est intègre... Mea Culpa.

[wonderfuldream]

ok , degre(A) =0
je suis perdu avec vos justifications ;)

[mr_pyer]

ok , degre(A) =0
je suis perdu avec vos justifications

Lol
Tu dois pouvoir montrer que a=1 (en le supposant >0), ensuite il existe P et Q tels que 1-nP=XQ, enfin regarde la valuation et c'est fini...

[wonderfuldream]

oh la qu'est ce que la valuation ? lol

[mr_pyer]

oh la qu'est ce que la valuation ? lol

La valuation d'un polynôme c'est le terme de degré minimal, par exemple la valuation (en fait je devrais dire X-valuation) du polynôme est .

[mr_pyer]

Le terme de degré minimal dans XQ sera de degré alors que celui de est de degré 0 car .