Groupes...

[Anonyme]

bonjour,
je n'arrive pas a résoudre cet esercice... merci de bien vouloir m'aider
-> soit G un sous groupe de Q (ensemble des rationels) avec G différent du singleton {0}. Montrer que tout élément de Q/G est d'ordre fini et qu'il n'existe pas de groupes non triviaux G1 et G2 tels que G1xG2 est isomorphe à Q.

[yos]

Soit g=p/q un élément de G-{0}. g+g+...+g (q termes) est dans G, donc p est dans G.
Soit x un rationnel : x=a/b. On a : pbx=pa , et pa est dans G donc la classe de x est d'ordre finie dans Q/G.


Tout élément de G1 X G2 est donc aussi d'ordre fini (Si x est d'ordre m et y est d'ordre n, alors (x,y) est d'ordre au plus mn).
Les éléments de Q ne sont pas d'ordre fini (sauf 0).

[yos]

J'ai dit une bétise dans la 2ème question : Ce sont les éléments de Q/G1 qui sont d'ordre fini alors que ceux de G2 sont d'ordre infini. On ne peut pas avoir Q/G1 isomorphe à G2.