Groupes

[jeje56]

Bonjour,

Je butte sur cet exercice :

Soit H un sous-groupe d'indice 2 d'un groupe G :

MQ H est distingué dans G

ce qui signifie :

Merci bcp de votre aide !

[Imod]

Il y a deux classes à gauche et deux classes à droites , celles de l'élément neutre sont évidemment confondues ...

Imod

[skilveg]

jeje, essaie de vérifier que si , .

[jeje56]

jeje, essaie de vérifier que si , .

Justement, je n'y arrive pas...

G/H={gH} non ?

Déjà, si h est dans H, l'égalité hH=Hh est évidente ? Pourquoi ?

[yos]

G/H={gH} non ??

Lis bien ce qui est dit dans les précédents messages.
G/H est l'ensemble des classes gH où g décrit G. Ici, il n'y a que deux classes et l'une est H. L'autre est donc G-H (l'ensemble des éléments de G qui ne sont pas dans H).
Pareil pour G\H : l'ensemble des classes Hg. Deux également, l'une est H l'autre est G-H.

[yos]

Si on remplace "indice 2" par "indice minimal (non trivial)" c'est plus rigolo.

[skilveg]

Attention, est bien le complémentaire de H, et l'ensemble des classes à droite. J'avoue que c'est assez tordu (je ne sais pas comment er une jolie fraction en diagonale) mais la notation désigne plutôt pour moi l'ensemble des .

[ThSQ]

Si on remplace "indice 2" par "indice minimal (non trivial)" c'est plus rigolo.

Oui, ce qui rigolo aussi c'est que dans ce cas on a aussi pour un certain a (ce qui permet de donner une autre démo du résultat)

[yos]

la notation désigne plutôt pour moi l'ensemble des .

Et tu t'en sers souvent??
J'écris A-B pour l'ensemble des éléments de A n'appartenant pas à B, y compris en classe. C'est tordu cette idée de pencher le signe moins non?

[yos]

Oui, ce qui rigolo aussi c'est que dans ce cas on a aussi pour un certain a (ce qui permet de donner une autre démo du résultat)

A posteriori c'est clair car G/H groupe d'ordre p donc cyclique, et convient.
J'y réfléchirai.

[ThSQ]

Oui tu as raison, je voulais dire en fait que

Si on prend on a : classes à gauche = (= classes à droite = )

Tout comme dans le cas [G:H] = 2.

[skilveg]

C'est tordu cette idée de pencher le signe moins non?

Pas plus que ça, c'est comme ça que j'ai toujours noté le complémentaire... D'ailleurs (argument d'autorité bidon) appelle \setminus la commande pour .

[yos]

C'est toujours pareil ces guerres de clans. Ayant appris ainsi au lycée, je reproduis. A noter que Godement fait comme moi (le copieur) ainsi que Queysanne (un peu oublié mais auteur d'un livre d'algèbre qui a eu du succès).
Il, m'arrive aussi de remettre en question ce que j'ai pu apprendre (rarement, j'ai pas de personnalité) mais là, je trouve naturel d'écrire A-B pour et assez pompeux de pencher le signe moins. A l'image de ces profs de lycée levant l'index et les sourcils en prononçant "attention! Ce n'est pas un signe moins". Ce genre de phrase a toujours du succès sur de jeunes lycéens croyant ainsi avoir compris le sens du mot rigueur.
A noter aussi que j'ai trouvé des gens penchant le signe moins dans l'autre sens (alors qu'ils habitaient aussi l'hémisphère nord).

[jeje56]

Ici, il n'y a que deux classes et l'une est H.

Pourquoi ceci ? Quel lien avec l'indice 2 de H dans G ?

Merci de m'éclairer...

[skilveg]

C'est toujours pareil ces guerres de clans...

Oui, et je dirais qu'on fait difficilement plus stérile comme débat, et qu'il y a de meilleures raisons (ou pas...) de s'étriper!

Loin de moi l'idée de nourrir le troll mais quand tu notes l'ensemble des classes à droite, je persiste à penser que ça pose un léger problème.

[yos]

Quel lien avec l'indice 2 de H dans G ?

L'indice, c'est le nombre de classes à gauche (ou à droite) : c'est du cours.

D'accord avec Skilveg pour la notation G\H. Il vaut mieux écrire et je trouve. Merci aussi à lui d'avoir confirmé le nombre de sev de .