Groupes

[Luc]

Bonsoir à tous,

Je me suis posé la question suivante: est-ce qu'un groupe ayant un nombre fini de sous-groupes est forcément fini?

J'ai essayé de regarder les sous groupes engendrés par les éléments mais je pense que la connaissance de certains théorèmes cruciaux me fait défaut. Quelqu'un a une idée?

Luc

[ThSQ]

C'est vrai. Un indice : un groupe monogène infini admet-il un nombre fini de sous-groupes ?

[Luc]

Non puisqu'il est isomorphe à , dont les sous groupes sont les
Un groupe ayant un nombre fini de sous groupes est donc soit fini monogène (ok), soit infini non monogène. Pourquoi ce dernier cas est impossible?

[ffpower]

Et bien,si G est ton groupe,les sous groupes de G peuvent ils etre infinis?

[Luc]

Je ne vois pas ce qui les empêche d'être infinis :doh:

[Doraki]

Soit G un groupe ayant un nombre fini de sous-groupes.
L'ensemble des sous-groupes monogènes pour x dans G est fini et recouvre G.
De plus, chacun de ces sous-groupes est fini (on a vu que Z a un nombre infini de sous-groupes)
Donc G est la réunion finie de sous-groupes finis, donc il est fini.

[Luc]

De plus, chacun de ces sous-groupes est fini (on a vu que Z a un nombre infini de sous-groupes)

Je ne comprends pas le lien entre le fait qu'il y ait ou non un nombre infini de sous-groupes et que ces sous groupes soient finis ou non. Est-ce que tu peux détailler un petit peu s'il te plait? Désolé si c'est évident pour toi :zen:

Luc

[Doraki]

Ce qu'on a gagné en passant de G à c'est que maintenant est monogène, contrairement à G.
Donc si l'un des groupes est infini, alors est isomorphe à Z.
Or Z a une infinité de sous-groupes (tous les dZ), donc si est infini, il a une infinité de sous-groupes.
Donc si l'un des est infini, G lui-même a une infinité de sous-groupes.
Donc si on suppose que G a un nombre fini de sous-groupes, tous les sont des groupes cycliques finis.

[Luc]

Merci beaucoup!

[ThSQ]

Tiens, quelques idées/délires personnels de prolongements (pas durs, un peu originaux ? on peut rêver ...) de cet exo archi-archi-classique, rêvés pendant un cours mortel :

- Trouver, s'il existe, un groupe infini non cyclique ayant un nombre fini non nul de sous-groupes non cycliques.

- Caractériser les groupes isomorphes à tous leurs sous-groupes (!= {e} oeuf corse)

- Soit la propriété : P(n) : tous les groupes finis non cycliques contiennent au moins n sous-groupes-cycliques différents de même ordre.
Trouver le n max tel que P(n) est toujours vrai.