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par **jeje56** » 31 Oct 2008, 11:39

Bonjour,

Je bloque sur l'exercice suivant :

, n premier

On note f(d) le nombre des éléments de ((Z/nZ)*,x) d'ordre d

MQ

où

désigne l'ensemble des diviseurs positifs de k

Merci bcp de votre aide...

PS : (Z/nZ)* désigne ici les inversibles de Z/nZ

par **ThSQ** » 31 Oct 2008, 11:52

Ben, tous les éléments ont un ordre fini qui est un diviseur de n-1. Yapuka compter.

J'parie que la fin de l'exo c'est "en déduire de Z/nZ* est cyclique" ....

par **jeje56** » 31 Oct 2008, 12:11

On prend tous les éléments sauf 0, soit n-1 éléments ?

Mais pourquoi ces éléments ont nécessairement un ordre qui est un diviseur de n-1 ?...

Merci !

par **ThSQ** » 31 Oct 2008, 12:50

0 est rarement inversible dans Z/nZ ;) + Lagrange !

par **jeje56** » 31 Oct 2008, 14:28

Merci, j'y vois plus clair...

La suite :

Soit d un diviseur de n-1 et a un élément de E=((Z/nZ)*,x) d'ordre d, s'il existe.

MQ les racines de

sont, dans E,

Celà revient à chercher les éléments d'ordre d : chaque élément parmi 1,a,a²,... convient mais n'y en a t'il pas d'autres ? Pourquoi ?

Merci bcp !

par **Doraki** » 31 Oct 2008, 15:33

Pas exactement, mais ça revient à chercher les éléments dont l'ordre divise d.

X^d-1 est de degré d, et t'as trouvé combien de racines distinctes déjà ?

par **jeje56** » 31 Oct 2008, 15:52

Merci de ta réponse, rédigé cela donne :

On cherche les éléments de (Z/nZ)* dont l'ordre divise d :

et comme P admet au plus d racines dans le corps Z/nZ, les racines de P sont exactement

Est-ce correct ?

Merci à vous !

par **Doraki** » 31 Oct 2008, 16:06

Pourquoi est-ce que 1,a,a²,...,a^(d-1) sont tous différents ?

par **jeje56** » 01 Nov 2008, 10:35

Si d est l'ordre de a, alors {1,a,a²,...a^(d-1)} est un sous-groupe cyclique ?... Cela suffit-il ?

Merci ;-)

par **jeje56** » 01 Nov 2008, 11:25

Pour la suite :

Soit

,k non premier avec d

MQ

a un ordre strictement inférieur à d

Soit j tq

alors kj=d, avec

Donc j<d

Est-ce correct ?

Merci à vous :-)

par **jeje56** » 01 Nov 2008, 13:28

Personne ?...

par **Doraki** » 02 Nov 2008, 15:04

[quote="jeje56"]Pour la suite :

Soit

,k non premier avec d

MQ

a un ordre strictement inférieur à d

Soit j tq

alors kj=d, avec

Donc j k est un multiple de d,
donc pour tout j, (a^k)^j = 1 kj est un multiple de d j est un multiple de quelque chose à déterminer et qui sera l'ordre de a^k.

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