Groupes

[Anonyme]

bonjour, j'ai une question d'un exercice que je ne sais pas comment résoudre:
a) Montrer que Z muni de l'addition usuelle est un groupe abélien. Idem pour R et pour C.

je ne vois pas ce qu'est l'addition usuelle. au dessus de l'exercice, on m'explique ce qu'est un groupe et un groupe abélien. je pense qu'il faut donc que je montre d'abord que Z est un groupe puis qu'il est abélien. mais pour motrer ceci, dois-je prendre un exemple,du style avec x=2, y=-3 et z=4 ou je dois montrer ça d'une autre façon?

merci pour votre réponse.

[Galt]

L'addition usuelle, c'est l'addition dont on a l'habitude (2+3=5, etc)
Un exemple ne sera jamais une preuve.
Il faut donc montrer
Si a, b sont 2 entiers relatifs, a+b est un entier relatif (loi interne)
Si a, b, c sont 3 entiers relatifs, a+(b+c)=(a+b)+c (associativité)
Il existe un entier e tel que, pour tout entier, a+e =e+a = a (élément neutre) que vaut e ?
Pour tout entier relatif a, il existe un entier b tel que a+b=b+a=e (symétriques)
Et pour finir
Si a, b sont deux entiers, a+b=b+a (commutativité pour groupe abélien).
Faire la même chose avec des réels
Prendre 2 aspirines, 3 tranxènes et aller se coucher.

[Anonyme]

ok! est ce que ce que vous m'avez donné est suffisant , ou est ce qu'il faut le "démontrer", je pense que la réponse est non mais on ne sait jamais...

[phenomene]

Tout dépend du niveau de formalisme auquel on se place. Si l'on voulait vraiment démontrer quelque chose comme l'associativité de l'addition dans , il faudrait commencer par définir proprement et définir proprement l'addition dans . Sans définitions précises, point de démonstration possible !

Maintenant, en pratique, lorsqu'on parle de l'addition usuelle, tout le monde sait ce dont on parle, et tout le monde connaît ses propriétés comme l'associativité. Et on n'en demande probablement pas plus à quelqu'un qui découvre juste la notion de groupe.

Les amateurs de formalisme reprendront les axiomes de Peano définissant , la définition de l'addition dans cet ensemble à partir de la notion de successeur, la construction de à partir de avec la définition de l'addition qui en découle, et vérifieront l'associativité de cette addition proprement. Bon courage à eux ! :lol5: