Groupes

par **jeje56** » 01 Oct 2007, 17:14

Bonjour,
Soit (G,x) un groupe
MQ le quotient Q/Z et l'ensemble {e(i2kpi/3^n),n entier naturel et k entier relatif} muni de la x sont des exemples de groupe infini dans lequel tout élément est d'ordre fini

Je ne vois pas comment commencer...
Soit x de G2 : x=e(i2kpi/3^n)
x^(3^n/2kpi)=1 dc tout x de G2 est d'ordre fini... ?

Merci bcp d'avance...

par **yos** » 01 Oct 2007, 17:24

L'ordre est un entier >0.

par **jeje56** » 01 Oct 2007, 17:30

Et pour Q/Z ?...

par **yos** » 01 Oct 2007, 17:46

Un élément de Q/Z est représentable par une fraction a/b avec

et

.
Si tu le multiplies par b, tu trouves 1.

par **jeje56** » 01 Oct 2007, 17:58

par b/a non?

par **yos** » 01 Oct 2007, 18:05

Je le redis : l'ordre d'un élément est un entier.
Mais c'est ma faute : j'ai dit "tu trouves 1" et j'aurais du mettre "tu trouves 0" (bien que 1=0 dans Q/Z)
Ici ton groupe est additif, donc l'ordre d'un élément x est le plus petit entier n >0 tel que nx=0.
Soyons plus rigoureux : on note

la surjection canonique. Si x est dans Q/Z, il existe des entiers a et b (avec b>0) tels que x=s(a/b). On a alors
bx=bs(a/b)=s(ba/b)=s(a)=s(0), donc s(a/b) est d'ordre au plus b.

par **jeje56** » 01 Oct 2007, 18:37

Merci, je vais étudier ça...

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