Groupes..

[sue]

Bonjour,

je cherche une démonstration du théorème suivant :

Tout groupe monogène est soit infini et isomorphe à (Z,+) ,soit fini et isomorphe à (Z/mZ,+) , m £ N*

merci

[kazeriahm]

Considère l'application f qui va de Z dans G= et qui à un entier n lui associe

n*a (a+a+a... n fois)

f est clairement un morphisme de groupes de (Z,+) dans G.

Si Ker f={0}, alors f est injective et surjective car G est monogène.

Sinon Ker f est un sous groupe de Z donc de la forme p*Z ou p est un entier.

Ensuite tu utilise la division euclidienne dans Z pour montrer isomorphisme entre G et Z/pZ

[Sylar]

Bonjour:

=={k.a / k appartient a Z}

Soit G un groupe de la loi notée . et d'élément neutre e.

Soit a dans G.

Considérons : f: (Z,+) -->(G,.)
k-> a^k

f(k+k')=f(k).f(k')
f est donc un morphisme du gp (Z,+) sur le gp (G,.).

Im(f)= et :Ker(f)= n.Z

Si,n=0:
Montrons que est isomorphe a Z ,et a d'ordre infini:

[Sylar]

Considérons:

g_n: Z/n.Z -->
k(barre)->a^k

Soit k,k' 2 entiers tels que: k(barre)=k'(barre)

k-k' (barre)=0 => a^(k-k')=e => a^k=a^k'

Donc g_n va de Z/nZ dans .
g_n SURJECTIVE DE z/Nz DANS .

Or: g_n(k(barre)+k'(barre))= g_n(k(barre)).g_n(k'(barre))

Ker(g_n)= {0 barre}

Ainsi, g_n est un isomorphisme du gp (Z/nZ,+) dans .

[sue]

Merci à vous .

sinon une petite question :

Considère l'application f qui va de Z dans G= et qui à un entier n lui associe

n*a (a+a+a... n fois)

pourquoi vous notez additivement ? par définition de , je dirais plutot .

[fahr451]

bonjour sue

la notation ne présume en rien de la loi

cependant est commutatif et "en général" on prend + pour une loi commutative.

si tu veux prendre .,x,T ou [] libre à toi

[sue]

Bonjour Fahr , bonnes vaccances j'espère :we:

Sinon Ok , merci .

[fahr451]

merci sue

mais quelle idée des vacances...

une retraite mystique tout au plus