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par **sue** » 04 Avr 2007, 11:10

Bonjour ,

je bloque sur la dérnière question de cet exo , voici l'énoncé :

soit (G,.) un groupe Abélien .
on note

, et on suppose que

avec e son neutre .
on pose :

avec

et

premiers entre eux ,

et

.

la question : mq

.

une piste ?

MERCI

par **fahr451** » 04 Avr 2007, 11:24

bonjour
montrer que
f: Gsx Gr -> G
(x,y) -> xy est bijective

par **sue** » 04 Avr 2007, 11:33

Bonjour fahr ,

excuse moi , mais peux-tu m'expliquer d'abord le rapport ?
suffit-il de prouver la bijectivité pour conclure que le cardinal de l'ensemble du départ est égale à celui de l'ensemble d'arrivée ?

par **fahr451** » 04 Avr 2007, 11:38

ah vi c'est même un principe de base du dénombrement

si on trouve une bijection f de E sur F avec E fini alors F est fini et cardE = cardF

la bijection met en correspondance de façon biunivoque (comme on dit) les éléments de E et ceux de F (suffit de faire les flêches)

ici f est surjective car pour g ds E

on a ur +vs = 1 (bezout) donc g = g^(ur).g^(vs)
et je te laisse voir kiestdanskoi

f est injective car si f(x,y) = f(x',y')
alors
h =xx'^(-1)= yy'^(-1) est dans Gr inter G s et bézout (encore lui) prouve que h = e

par **charif** » 04 Avr 2007, 11:45

bonjour

d'abord on parle pas du cardinal d'un ensemble que si ce dernier est fini mais vous avez pas signaler ca au début ????,

par **abcd22** » 04 Avr 2007, 12:17

Bonjour,
Il y a une notion de cardinal pour les ensembles infinis, en gros on appelle cardinal un ensemble qui n'est en bijection avec aucun ensemble "plus petit" que lui-meme, ce qui suppose d'avoir defini auparavant les ordinaux, qui sont totalement ordonnes (pour pouvoir parler d'ensemble plus petit qu'un autre). Les ensembles finis sont des cardinaux, le plus petit cardinal infini est

,

est un autre cardinal infini, et l'hypothese du continu dit qu'il n'y a aucun cardinal entre

et

. Comme ce sont des choses tres theoriques on n'en parle pas avant la L3 ou M1 et toutes les universites ne proposent pas de cours la-dessus, mais le cardinal de n'importe quel ensemble est bien defini.
Sans parler de cardinaux infinis, ici on a une bijection entre

et

, donc si

est infini ca sera le cas aussi pour

ou

, et si

ou

est infini

est aussi infini (car

et

sont non vides, parce que l'ensemble vide

un ensemble infini ca fait l'ensemble vide), en prenant la convention

ou

est un entier non nul (ou meme l'infini) la relation reste vraie.

par **sue** » 04 Avr 2007, 12:50

ici f est surjective car pour g ds E

on a ur +vs = 1 (bezout) donc g = g^(ur).g^(vs)
et je te laisse voir kiestdanskoi

d'accord , je pose

et

on a

et

donc

sinon , d'accord pour l'injectivité , merci.

merci aussi abcd22 , ça m'interesse tout celà , je ne savais pas qu'on peut parler du card d'un ensemble infini .
mais ça m'étonne qu'on précise pas ce point là dans l'énoncé , au moins à mon niveau .

par **charif** » 04 Avr 2007, 13:24

bonjour

vous parlez de plus petit ,.. mais vous n'avez pas précisez la relation d'ordre....
et aussi vous avez sautez l'etape crucial concernant les cardinal infini .. et ensuite vous dit que le cardinal est un ensemble mais dans notre cas le cardinal est le nombre des élements , ????????

par **fahr451** » 04 Avr 2007, 19:57

bon on a un puriste en la personne de charif

pour E et F deux ensembles on dira que E est équipotent à F s' il existe f bijective de E sur F la relation être équipotent est une "relation d'équivalence " sur la classe (pas l'ensemble ce qui justifie les " ") de tous les ensembles

deux ensembles équipotents ont la même cardinalité (notion qui généralise la notion de cartdinal des ensembles finis)

par **charif** » 04 Avr 2007, 22:49

bonjour

la relation d'équivalence ,, c'est pas notre cas, je parle de la relation d'ordre parseque la relation d'équivalence ne permet pas d'ordonner les élements .........

par **fahr451** » 05 Avr 2007, 03:49

charif a écrit:bonjour

d'abord on parle pas du cardinal d'un ensemble que si ce dernier est fini mais vous avez pas signaler ca au début ????,

en effet j'ai cru que c'était une remarque incongrue sans rapport avec le post initial , mais l'hypothèse G fini manque.

Toutes mes excuses charif

par **charif** » 05 Avr 2007, 13:12

bonjour:

de rien monsieur fahr; :we:
abcd22
a voulu géneraliser la notion du cardinal au ensemble infini mais......
la reponse était vague et incompléte ..............................
il a parlé de cardinal comme étant un ensemble et non pas le nombre d'élements, et il a aussi parlé du relation d'ordre sans la précisée :doh:

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