[licence 2] groupes

[Anonyme]

Bonjour,

Je débute avec les groupes et l'exercice suivant me pose problème en
partie :
(convention de notation en bas du message, s'il y a des conventions de
notation établies pour fr.education.entraide.maths, n'hésitez pas à me
le dire)

1) montrer que Q, G1=sqr(2)Z, G2={m+n*sqr(2)|(m,n)€Z²} sont des
sous-groupes de (R,+).

--->pas de problèmes pour cette question

2)Soit G un sous-groupe de (R,+) et a=inf(G inter R+).
a)On suppose que a=0. Soient xdifférent de l'ensemble vide puis que ]x,y[inter G différent de ensemble
vide. (on dit dans ce cas que G est dense dans R)

--->Pour ]0,y-x[ inter G, étant donné que x0 et vu que inf(G
inter R+)=0, pas de soucis, ça roule.
--->Pour ]x,y[ inter G, je n'ai pas vu d'autre solution que de supposer
que x>0 ce qui n'est pas dit explicitement dans l'ennoncé (mais qui
pourrait peut-être être admis vu l'intervalle de la première chose à
montrer). Ai-je bien fait ?

b)On suppose que a>0. Soit x €G. Montrer que ]0,a[ inter G = ensemble
vide. En déduire qu'il existe un entier relatif n tel que x=na et que G=aZ.

--->Pour la première chose à montrer, ça va, les éléments de G majorent
]0,a].
--->Après pour ce qu'il faut en déduire, c'est moins évident.
J'ai du mal à me convaincre, que n est un entier relatif. Pouvez-vous
m'expliquer ?

3)Montrer que G2 est dense dans R
--->La notion de densité est introduite dans la question précédente.
D'une manière générale, que faut il démontrer pour affirmer qu'un
sous-groupe est dense dans un groupe ?

Merci pour votre aide

JD

je note sqr() la racine carrée, € pour le signe appartient, R l'ensemble
des réels, Q des rationnels, Z des relatifs, * le signe multiplié, inter
est l'intersection

[Anonyme]

JD a écrit :
>
> --->Pour ]x,y[ inter G, je n'ai pas vu d'autre solution que de supposer
> que x>0 ce qui n'est pas dit explicitement dans l'ennoncé (mais qui
> pourrait peut-être être admis vu l'intervalle de la première chose à
> montrer). Ai-je bien fait ?

Si tu es convaincu de ta démonstration, ben pas de problèmes...
Sinon, donne là sur le ng pour qu'on la corrige éventuellement.


>
> b)On suppose que a>0. Soit x €G. Montrer que ]0,a[ inter G =
> ensemble vide. En déduire qu'il existe un entier relatif n tel que x=na
> et que G=aZ.


Une démonstration par l'absurde peut résoudre cette question (il faut
montrer une double inclusion)


>
> 3)Montrer que G2 est dense dans R
> --->La notion de densité est introduite dans la question précédente.
> D'une manière générale, que faut il démontrer pour affirmer qu'un
> sous-groupe est dense dans un groupe ?
>

Démontre le encore par l'absurde en montrant qu'il y a une absurdité si
on suppose qu'on est dans le 2e cas. (le cas b))

[Anonyme]

JD a écrit:
> Bonjour,
>
> Je débute avec les groupes et l'exercice suivant me pose problème en
> partie :
> (convention de notation en bas du message, s'il y a des conventions de
> notation établies pour fr.education.entraide.maths, n'hésitez pas à me
> le dire)
>
> 1) montrer que Q, G1=sqr(2)Z, G2={m+n*sqr(2)|(m,n)€Z²} sont des
> sous-groupes de (R,+).
>
> --->pas de problèmes pour cette question
>
> 2)Soit G un sous-groupe de (R,+) et a=inf(G inter R+).
> a)On suppose que a=0. Soient x ]0,y-x[inter G différent de l'ensemble vide puis que ]x,y[inter G
> différent de ensemble vide. (on dit dans ce cas que G est dense dans R)
>
> --->Pour ]0,y-x[ inter G, étant donné que x0 et vu que inf(G
> inter R+)=0, pas de soucis, ça roule.
> --->Pour ]x,y[ inter G, je n'ai pas vu d'autre solution que de supposer
> que x>0 ce qui n'est pas dit explicitement dans l'ennoncé (mais qui
> pourrait peut-être être admis vu l'intervalle de la première chose à
> montrer). Ai-je bien fait ?

Ca n'a pas bien d'importance puisque si x appartient à G -x aussi.

> b)On suppose que a>0. Soit x €G. Montrer que ]0,a[ inter G =
> ensemble vide. En déduire qu'il existe un entier relatif n tel que x=na
> et que G=aZ.
>
> --->Pour la première chose à montrer, ça va, les éléments de G majorent
> ]0,a].
> --->Après pour ce qu'il faut en déduire, c'est moins évident.
> J'ai du mal à me convaincre, que n est un entier relatif. Pouvez-vous
> m'expliquer ?

S'il existe n tel que x=na, n est la partie entière de x/a. cela devrait
te donner des idées : notons n = E(x/a). On supposes donc que n != x/a.
Alors on peut écrire na 3)Montrer que G2 est dense dans R
> --->La notion de densité est introduite dans la question précédente.
> D'une manière générale, que faut il démontrer pour affirmer qu'un
> sous-groupe est dense dans un groupe ?[/color]

D'après la question précédente il y a équivalence entre :
G est dense dans R et
inf(G inter R+) = 0. Tu devrais donc montrer que inf(G2 inter R+) = 0.
Ce n'est pas la question la plus facile du problème...

> Merci pour votre aide
>
> JD
>
> je note sqr() la racine carrée, € pour le signe appartient, R l'ensemble
> des réels, Q des rationnels, Z des relatifs, * le signe multiplié, inter
> est l'intersection

on note souvent sqrt mais bon...

--
albert

[Anonyme]

albert junior a écrit :

> D'après la question précédente il y a équivalence entre :
> G est dense dans R et
> inf(G inter R+) = 0. Tu devrais donc montrer que inf(G2 inter R+) = 0.
> Ce n'est pas la question la plus facile du problème...
>

Une démonstration par l'absurde revient à montrer que Sqrt(2) est
irrationnel...

[Anonyme]

Nougy a écrit:

> Une démonstration par l'absurde revient à montrer que Sqrt(2) est
> irrationnel...

a (= min(G inter R+)) n'est pas forcément rationnel non ?

[Anonyme]

albert junior a écrit :

> a (= min(G inter R+)) n'est pas forcément rationnel non ?
>

Ben si : Vu que G=Z+sqrt(2)Z, 1 est dans G donc 1=a*m avec m dans Z donc
a est dans Z

[Anonyme]

Nougy a écrit :

> Ben si : Vu que G=Z+sqrt(2)Z, 1 est dans G donc 1=a*m avec m dans Z donc
> a est dans Z

Mon clavier a fourché : je voulais dire dans Q naturellemen

[Anonyme]

Nougy a écrit :

> Ben si : Vu que G=Z+sqrt(2)Z, 1 est dans G donc 1=a*m avec m dans Z donc
> a est dans Z

Mon clavier a fourché : je voulais dire dans Q naturellement

[Anonyme]

Nougy a écrit:
[color=green]
>> a (= min(G inter R+)) n'est pas forcément rationnel non ?
>>
>
> Ben si : Vu que G=Z+sqrt(2)Z, 1 est dans G donc 1=a*m avec m dans Z donc
> a est dans Q[/color]

oui ok

[Anonyme]

albert junior wrote:
[color=green]
>>
>> 1) montrer que Q, G1=sqr(2)Z, G2={m+n*sqr(2)|(m,n)?Z²} sont des
>> sous-groupes de (R,+).
>>
>> --->pas de problèmes pour cette question
>>
>> 2)Soit G un sous-groupe de (R,+) et a=inf(G inter R+).
>> a)On suppose que a=0. Soient x> ]0,y-x[inter G différent de l'ensemble vide puis que ]x,y[inter G
>> différent de ensemble vide. (on dit dans ce cas que G est dense dans R)
>>
>> --->Pour ]0,y-x[ inter G, étant donné que x0 et vu que inf(G
>> inter R+)=0, pas de soucis, ça roule.
>> --->Pour ]x,y[ inter G, je n'ai pas vu d'autre solution que de supposer
>> que x>0 ce qui n'est pas dit explicitement dans l'ennoncé (mais qui
>> pourrait peut-être être admis vu l'intervalle de la première chose à
>> montrer). Ai-je bien fait ?
>
> Ca n'a pas bien d'importance puisque si x appartient à G -x aussi.[/color]
Exact, je n'y avait pas pensé.

>[color=green]
>> b)On suppose que a>0. Soit x ?G. Montrer que ]0,a[ inter G =
>> ensemble vide. En déduire qu'il existe un entier relatif n tel que x=na
>> et que G=aZ.
>>
>> --->Pour la première chose à montrer, ça va, les éléments de G majorent
>> ]0,a].
>> --->Après pour ce qu'il faut en déduire, c'est moins évident.
>> J'ai du mal à me convaincre, que n est un entier relatif. Pouvez-vous
>> m'expliquer ?
>
> S'il existe n tel que x=na, n est la partie entière de x/a. cela devrait
> te donner des idées : notons n = E(x/a). On supposes donc que n != x/a.
> Alors on peut écrire na [/color]

je vois, je vais raisonner par l'absurde
>
>[color=green]
>> 3)Montrer que G2 est dense dans R
>> --->La notion de densité est introduite dans la question précédente.
>> D'une manière générale, que faut il démontrer pour affirmer qu'un
>> sous-groupe est dense dans un groupe ?
>
> D'après la question précédente il y a équivalence entre :
> G est dense dans R et
> inf(G inter R+) = 0. Tu devrais donc montrer que inf(G2 inter R+) = 0.
> Ce n'est pas la question la plus facile du problème...
>[/color]
ok mais, d'une manière générale, dense ça veut dire quoi ? Je présume que
l'élément neutre intervient puisque dans cet exo, c'est 0, élement neutre
de R,+ auquel on fait appel avec l'inf.

En tout cas, tout ceci m'a bien éclairé, je vais fouiller ça tout de suite.

JD

[Anonyme]

>> 2)Soit G un sous-groupe de (R,+) et a=inf(G inter R+).[color=green]
>> a)On suppose que a=0. Soient x> ]0,y-x[inter G différent de l'ensemble vide puis que ]x,y[inter G
>> différent de ensemble vide. (on dit dans ce cas que G est dense dans R)
>>
>> --->Pour ]0,y-x[ inter G, étant donné que x0 et vu que inf(G
>> inter R+)=0, pas de soucis, ça roule.
>> --->Pour ]x,y[ inter G, je n'ai pas vu d'autre solution que de supposer
>> que x>0 ce qui n'est pas dit explicitement dans l'ennoncé (mais qui
>> pourrait peut-être être admis vu l'intervalle de la première chose à
>> montrer). Ai-je bien fait ?
>
> Ca n'a pas bien d'importance puisque si x appartient à G -x aussi.
>[/color]
En fait, si, puisque au moment ou la question est posée, on nous dit
simplement que x est réel (et non pas qu'il appartient à G), par la suite
on nous le dit.

je vais reprendre la chose, je reposterai avec ma démonstration.

[Anonyme]

Nougy wrote:

> JD a écrit :[color=green]
>>
>> --->Pour ]x,y[ inter G, je n'ai pas vu d'autre solution que de supposer
>> que x>0 ce qui n'est pas dit explicitement dans l'ennoncé (mais qui
>> pourrait peut-être être admis vu l'intervalle de la première chose à
>> montrer). Ai-je bien fait ?
>
> Si tu es convaincu de ta démonstration, ben pas de problèmes...
> Sinon, donne là sur le ng pour qu'on la corrige éventuellement.[/color]

oui, je la reprends, et je poste si besoin
>
>[color=green]
>>
>> b)On suppose que a>0. Soit x ?G. Montrer que ]0,a[ inter G =
>> ensemble vide. En déduire qu'il existe un entier relatif n tel que x=na
>> et que G=aZ.
>
>
> Une démonstration par l'absurde peut résoudre cette question (il faut
> montrer une double inclusion)[/color]
je vais explorer la piste

>[color=green]
>>
>> 3)Montrer que G2 est dense dans R
>> --->La notion de densité est introduite dans la question précédente.
>> D'une manière générale, que faut il démontrer pour affirmer qu'un
>> sous-groupe est dense dans un groupe ?
>>
>
> Démontre le encore par l'absurde en montrant qu'il y a une absurdité si
> on suppose qu'on est dans le 2e cas. (le cas b))[/color]
je vois.

J'ai assez d'éléments, je cherche tout ça et je posterai ma démonstration

Merci.

[Anonyme]

JD a écrit:[color=green][color=darkred]
>>> 2)Soit G un sous-groupe de (R,+) et a=inf(G inter R+).
>>> a)On suppose que a=0. Soient x>>]0,y-x[inter G différent de l'ensemble vide puis que ]x,y[inter G
>>>différent de ensemble vide. (on dit dans ce cas que G est dense dans R)
>>>
>>>--->Pour ]0,y-x[ inter G, étant donné que x0 et vu que inf(G
>>>inter R+)=0, pas de soucis, ça roule.
>>>--->Pour ]x,y[ inter G, je n'ai pas vu d'autre solution que de supposer
>>>que x>0 ce qui n'est pas dit explicitement dans l'ennoncé (mais qui
>>>pourrait peut-être être admis vu l'intervalle de la première chose à
>>>montrer). Ai-je bien fait ?
>>
>>Ca n'a pas bien d'importance puisque si x appartient à G -x aussi.
>>[/color]
>
> En fait, si, puisque au moment ou la question est posée, on nous dit
> simplement que x est réel (et non pas qu'il appartient à G), par la suite
> on nous le dit.
>
> je vais reprendre la chose, je reposterai avec ma démonstration.[/color]


Non quand même

Supposons que x soit négatif. Si y est aussi négatif, on a l'équivalence
]x,y[ inter G non vide ]-y,-x[ inter G non vide et on peut poser x'=-y.
Si y est positif c'est clair car alors 0 est dans les deux ensembles.

--
albert

[Anonyme]

voilà quelquechose de plus abouti, grace à vos conseils... et j'espère
correct.

2)Soit G un sous-groupe de (R,+) et a=inf(G inter R+).
        a)On suppose que a=0. Soient x0,y-x[inter G différent de l'ensemble vide puis que ]x,y[inter G différent
de ensemble vide. (on dit dans ce cas que G est dense dans R)

--> x0
or inf(G inter R+)=0
donc ]0,y-x[ inter G !=ensemble vide

]x,y[!=ensemble vide
et G contient au moins l'élément neutre, donc G!=ensemble vide
donc ]x,y[ inter G !=ensemble vide

b)On suppose que a>0. Soit x ?G. Montrer que ]0,a[ inter G = ensemble
vide. En déduire qu'il existe un entier relatif n tel que x=na et que G=aZ.

--> inf(G inter R+)=a
donc sup(G inter R- =a^-1) //a^-1 l'élément symétrique de a
donc ]0,a[ inter G=ensemble vide

x=na implique que n=E(x/a) //partie entière
raisonnons par l'absurde
si n!=x/a
alors nax
prenons n=0
on obtient G inter ]0,a[!=ensemble vide ce qui est en contradiction avec
ce que l'on vient de montrer.
donc il existe n tel que x=na
donc G=aZ

3)Montrer que G2 est dense dans R

--> montrons que inf(G2 inter R+)=0
on note b=inf(G2 inter R+)
raisonnons par l'absurde
Si b>0
d'après 2b)
Soit x ? G2
il existe p tel que x=pb (où p ? Z)

or x de la forme m+n*sqrt(2) où (m,n)?Z²

on obtient alors
m+n*srqt(2)=pb ce qui équivaut à sqrt(2)=(pb-m)/n (b est différent de
sqrt(2), vérification triviale)
Or sqrt(2) est irrationnel

Donc, b=0
Donc inf(G2 inter R+)=0
Donc G2 est dense dans R

et c'est fini

JD

[Anonyme]

JD wrote:
> voilà quelquechose de plus abouti, grace à vos conseils... et j'espère
> correct.
>
> 2)Soit G un sous-groupe de (R,+) et a=inf(G inter R+).
> a)On suppose que a=0. Soient x 0,y-x[inter G différent de l'ensemble vide puis que ]x,y[inter G différent
> de ensemble vide. (on dit dans ce cas que G est dense dans R)
>
> --> x0
> or inf(G inter R+)=0
> donc ]0,y-x[ inter G !=ensemble vide
>
> ]x,y[!=ensemble vide
> et G contient au moins l'élément neutre, donc G!=ensemble vide
> donc ]x,y[ inter G !=ensemble vide

C'est magique ? Non, ça ne suffit pas : 2Z et {2n + 1| n dans Z} ont une
intersection vide.

Je te suggère ceci : soit a dans l'intersection de G et ]0, y-x[, et
soit n*a (n entier) le plus grand multiple de a = y ?

>
> b)On suppose que a>0. Soit x ?G. Montrer que ]0,a[ inter G = ensemble
> vide. En déduire qu'il existe un entier relatif n tel que x=na et que G=aZ.
>
> --> inf(G inter R+)=a

R+*, sinon ça donne 0.

> donc sup(G inter R- =a^-1) //a^-1 l'élément symétrique de a

L'opposé, ici, et c'est -a. Et ça ne justifie pas ta conclusion. Mais si
tu revenais à la définition de inf...

> donc ]0,a[ inter G=ensemble vide
>
> x=na implique que n=E(x/a) //partie entière

Oui, mais...

> raisonnons par l'absurde
> si n!=x/a

Mais qu'est-ce que n ? Tu ne l'as pas défini.

> alors nax

Oui, c'est l'idée. Avec une bonne définition de n...

> prenons n=0

Ah bon ? Quel rapport avec x ? avec a ?

> on obtient G inter ]0,a[!=ensemble vide ce qui est en contradiction avec
> ce que l'on vient de montrer.

Pirouette, retournement et rétablissement. *Pourquoi* ce que tu dis
implique-t-il que ]0, a[ n'est pas vide ? (c'est la clé de cette preuve).

> donc il existe n tel que x=na
> donc G=aZ

OK.

> 3)Montrer que G2 est dense dans R
>
> --> montrons que inf(G2 inter R+)=0

R+*

> on note b=inf(G2 inter R+)
> raisonnons par l'absurde
> Si b>0
> d'après 2b)
> Soit x ? G2
> il existe p tel que x=pb (où p ? Z)
>
> or x de la forme m+n*sqrt(2) où (m,n)?Z²
>
> on obtient alors
> m+n*srqt(2)=pb ce qui équivaut à sqrt(2)=(pb-m)/n

Et pourquoi n'aurait-on pas n = 0 ?

> (b est différent de sqrt(2), vérification triviale)

Quelle importance ?

> Or sqrt(2) est irrationnel

> Donc, b=0

Ah bon ? Tu sous-entends que b est rationnel. Pourtant, pour G1, ce
n'est pas le cas. Ce n'est donc pas suffisant ici...

> Donc inf(G2 inter R+)=0
> Donc G2 est dense dans R
>
> et c'est fini

Encore quelques corrections, et ça le sera.

Bon courage.

> JD

[Anonyme]

JD a écrit :
> voilà quelquechose de plus abouti, grace à vos conseils... et j'espère
> correct.

C'est pas très abouti en fait
Quelques points importants pour ta démonstration :
Pour 2)a) La présence de l'élément neutre (zéro en l'occurence) importe
peu : ce qui compte c'est qu'il y ait dans G un élément aussi petit que
tu souhaites (utiliser ensuite l'aditivité de G)

b)Démonstration par l'absurde

3)Se convaincre qu'être dense pour un sous groupe est EQUIVALENT à se
retrouver dans la catégorie de la question 2)a) et faire une
démonstration par l'absurde en utilisant l'irrationnalité de sqrt(2)

Bon courage
N'hésite pas à relire bien tes définitions du cours.

[Anonyme]

petite lecture vite fait, merci pour ces remarques. JD

"Hibernatus" a écrit dans le message
de news: 423489ce$0$1226$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
> JD wrote:[color=green]
>> voilà quelquechose de plus abouti, grace à vos conseils... et j'espère
>> correct.
>>
>> 2)Soit G un sous-groupe de (R,+) et a=inf(G inter R+).
>> a)On suppose que a=0. Soient x> 0,y-x[inter G différent de l'ensemble vide puis que ]x,y[inter G
>> différent
>> de ensemble vide. (on dit dans ce cas que G est dense dans R)
>>
>> --> x0
>> or inf(G inter R+)=0
>> donc ]0,y-x[ inter G !=ensemble vide
>>
>> ]x,y[!=ensemble vide
>> et G contient au moins l'élément neutre, donc G!=ensemble vide
>> donc ]x,y[ inter G !=ensemble vide
>
> C'est magique ? Non, ça ne suffit pas : 2Z et {2n + 1| n dans Z} ont une
> intersection vide.[/color]
en effet. Il faut alors supposer qu'il existe dans G un élément aussi petit
que l'on veut.
>
> Je te suggère ceci : soit a dans l'intersection de G et ]0, y-x[, et soit
> n*a (n entier) le plus grand multiple de a =
> y ?

En fait non. Car a>
>> b)On suppose que a>0. Soit x ?G. Montrer que ]0,a[ inter G =
>> ensemble vide. En déduire qu'il existe un entier relatif n tel que x=na
>> et que G=aZ.
>>
>> --> inf(G inter R+)=a[/color]
>
> R+*, sinon ça donne 0.[/color]

d'accord mais c'est donné comme ça donc il n'y a pas de risques.
[color=green]
>> donc sup(G inter R- =a^-1) //a^-1 l'élément symétrique de a
>
> L'opposé, ici, et c'est -a. Et ça ne justifie pas ta conclusion. Mais si[/color]

a^-1, c'est une notation. Il est vrai que ça prette à confusion dans un
groupe additif

> tu revenais à la définition de inf...
je vais voir ça
>[color=green]
>> donc ]0,a[ inter G=ensemble vide
>>
>> x=na implique que n=E(x/a) //partie entière
>
> Oui, mais...
>
>> raisonnons par l'absurde
>> si n!=x/a
>
> Mais qu'est-ce que n ? Tu ne l'as pas défini.
>
>> alors nax
>
> Oui, c'est l'idée. Avec une bonne définition de n...
>
>> prenons n=0
>
> Ah bon ? Quel rapport avec x ? avec a ?
>
>> on obtient G inter ]0,a[!=ensemble vide ce qui est en
>> contradiction avec
>> ce que l'on vient de montrer.
>
> Pirouette, retournement et rétablissement. *Pourquoi* ce que tu dis[/color]

j'essaye de paraître leste. J'y arrive pas forcemment...

> implique-t-il que ]0, a[ n'est pas vide ? (c'est la clé de cette preuve).
>[color=green]
>> donc il existe n tel que x=na
>> donc G=aZ
>
> OK.
>
>> 3)Montrer que G2 est dense dans R
>> --> montrons que inf(G2 inter R+)=0
>
> R+*
>
>> on note b=inf(G2 inter R+)
>> raisonnons par l'absurde
>> Si b>0
>> d'après 2b)
>> Soit x ? G2
>> il existe p tel que x=pb (où p ? Z)
>>
>> or x de la forme m+n*sqrt(2) où (m,n)?Z²
>> on obtient alors
>> m+n*srqt(2)=pb ce qui équivaut à sqrt(2)=(pb-m)/n
>
> Et pourquoi n'aurait-on pas n = 0 ?
>
> > (b est différent de sqrt(2), vérification triviale)
>
> Quelle importance ?
>
>> Or sqrt(2) est irrationnel
>
>> Donc, b=0
>
> Ah bon ? Tu sous-entends que b est rationnel. Pourtant, pour G1, ce n'est
> pas le cas. Ce n'est donc pas suffisant ici...
>
>> Donc inf(G2 inter R+)=0
>> Donc G2 est dense dans R
>>
>> et c'est fini
>
> Encore quelques corrections, et ça le sera.[/color]

Oui, du boulot. Mais à tête reposée.

>
> Bon courage.

[Anonyme]

"Nougy" a écrit dans le message de news:
4234944f$0$31661$636a15ce@news.free.fr...

> C'est pas très abouti en fait

Soit ! Rome n'a bas été bâtie en une journée.
J'ai trois semaines pour maitriser le thème. Ca laisse le temps de bosser.

> Quelques points importants pour ta démonstration :
> Pour 2)a) La présence de l'élément neutre (zéro en l'occurence) importe
> peu : ce qui compte c'est qu'il y ait dans G un élément aussi petit que tu
> souhaites (utiliser ensuite l'aditivité de G)
>
> b)Démonstration par l'absurde
>
> 3)Se convaincre qu'être dense pour un sous groupe est EQUIVALENT à se
> retrouver dans la catégorie de la question 2)a) et faire une démonstration
> par l'absurde en utilisant l'irrationnalité de sqrt(2)
>
> Bon courage
> N'hésite pas à relire bien tes définitions du cours.
Oui, merci en tous cas.

JD