Groupes

[minidiane]

Bonsoir à tous voilà j'ai quelques soucis dans quelques exercices pouvez vous m'aider?

Exercice1:

x= 1 2 3 4 5 6
4 2 6 3 5 1
y= 1 2 3 4 5 6
2 1 3 5 6 4
z= 1 2 3 4 5 6
1 5 3 4 2 6

On me demande quels sont les supports de x, y, z et xrondy et xrondz, je ne sais pas ce que c'est.

Exercice2

On considère le groupe symétrique Sn d'ordre n.

1. Rappeler quel est l'ordre d'un cycme c=(a1, a2, ..., ak) de longeur k où k n.
2. Soient c1 et c2 deux cycles de supports disgoints et d'ordre respectifs m et p. Démontrer que l'ordre de c1c2 est ppcm(m,p).

Exercice3

1. Montrer que les transpositions de type (1,i) 2 <= i <= n-1 engendrent Sn.
2. Montrer que les transpositions du type (i,i+1) 1 <= i <= n-1 engendrent Sn.
3. Montrer que (1,2) et (1,2,...,n) engendrent Sn.

Exercice4

Soient G={Id, (1,2)rond(3,4), (1,3)rond(2,4), (1,4)rond(2,3)} et H={Id, (1,2,3,4), (1.3)rond(2,4), (1,4,3,2)}
1. Démontrer que G et H sont des sous-groupes de S4.
2. Soit f un morphisme de groupes de G dans H. Montrer que pour tout s G, (f(d))²=id.
3. En déduire que les groupes G et H ne sont pas isomorphes.

[Zebulon]

Bonsoir,

On me demande quels sont les supports de x, y, z et xrondy et xrondz, je ne sais pas ce que c'est.

le support d'une permutation x, c'est l'ensemble des entiers tels que .

1. Rappeler quel est l'ordre d'un cycme c=(a1, a2, ..., ak) de longeur k où k n.

Tu ne sais pas ?

2. Soient c1 et c2 deux cycles de supports disgoints et d'ordre respectifs m et p. Démontrer que l'ordre de c1c2 est ppcm(m,p).

Indication : et sont à supports disjoints donc ils commutent.

[simplet]

??? Il ne voudrait pas qu'on lui fasse tout ses exos quand même!!

Quelles sont les questions qui coincent?? Ou sont tes problemes: les notions que tu ne connaient pas ou les méthodes pour résoudre tes exos??

[minidiane]

Citation:
1. Rappeler quel est l'ordre d'un cycme c=(a1, a2, ..., ak) de longeur k où k n.


Tu ne sais pas ?
Je pense que c'est k! mais je suis pas sur.

[simplet]

Exercice2

On considère le groupe symétrique Sn d'ordre n.

1. Rappeler quel est l'ordre d'un cycme c=(a1, a2, ..., ak) de longeur k où k n.
2. Soient c1 et c2 deux cycles de supports disgoints et d'ordre respectifs m et p. Démontrer que l'ordre de c1c2 est ppcm(m,p).
.

1) Il suffit d'appliquer la définition de l'ordre d'un élement,

2) Se souvenir que dans un groupe commutatif, En notant w(x) l'ordre d'un élément x, alors w(xy) divise ppcm (w(x), w(y)).

Et se servir que les cycles sont à supports disjoints.

eettt grooss bisou à zebulonn (même si ce n'est pas l'endroit, fé zqe zve moa!!)

[simplet]

Citation:
1. Rappeler quel est l'ordre d'un cycme c=(a1, a2, ..., ak) de longeur k où k n.


Tu ne sais pas ?
Je pense que c'est k! mais je suis pas sur.

c'est un "k factoriel" ou un "k g la réponse" ?? En fait c'est k (tout cours :++:

[simplet]

Peut etre aurais tu pu poser comme question: comment fait-on pour montrer que "n" est l'ordre d'un élément??

Il suffit de revenir à la définition (en tout à une définition pratique :zen: ):
n est l'ordre d'un élément x si quelque soit d tel que x^d=1 on a d divise n.

Dans ta question, pose n=ppcm(w(x),w(y)) et montre la propriété ci dessus...

[simplet]

1. Rappeler quel est l'ordre d'un cycme c=(a1, a2, ..., ak) de longeur k où k n.
2. Soient c1 et c2 deux cycles de supports disgoints et d'ordre respectifs m et p. Démontrer que l'ordre de c1c2 est ppcm(m,p).
.

Et quand a-t-on w(c1c2)=w(c1).w(c2) ?? Tu le verras une fois la question 2 traitée.. :id:

[Zebulon]

eettt grooss bisou à zebulonn (même si ce n'est pas l'endroit, fé zqe zve moa!!)

Woaw ! Un bisous de James Bond :girl2: ! Je te laisse ce fil ! A+ !

[minidiane]

Merci pour votre aide.

[Zebulon]

comment fait-on pour montrer que "n" est l'ordre d'un élément??

Il suffit de revenir à la définition (en tout à une définition pratique :zen: ):
n est l'ordre d'un élément x si quelque soit d tel que x^d=1 on a d divise n

C'est plutôt n est l'ordre de x si :
quel que soit d tel que , (ici, 1=Id), n divise d.