Groupes

[Vlad-Drac]

Exercice 3. Soit G un groupe d’´element neutre note e. Soit H un sous-groupe d’ordre a de G,
et K un sous-groupe d’ordre b de G. On suppose que a et b sont premiers entre eux.
1. Justifier que H ∩ K est `a la fois un sous-groupe de H et un sous-groupe de K.
2. Rappeler l’´enonce du theoreme de Lagrange.
3. Montrer que H ∩ K = {e}.
4. Soient p, q des entiers positifs premiers entre eux. Montrer que s’il existe deux entiers k,l tels que
exp(2πi (k/p)) = exp(2πi(l/q)),
alors p divise k et q divise l.


je bloque sur la derniere question je ne vois pas du tout comment faire...

[Mimosa]

Bonjour

Prends et où désigne le groupe des racines -ièmes de l'unité.

[Vlad-Drac]

???
l'ensemble des solution de Sn={exp(2πi (k/n)) } possede n solution.
Un est d'ordre n.
H d'ordre p,et K d'ordre q
exp(2πi (k/p)) = exp(2πi(l/q)), correspond a l'intersection donc reduit a e comme vu plus haut ( car p et q 1er entre eux.
et pour que
exp(2πi (k/p)) = exp(2πi(l/q)) = e
on doit avoir k/p et l/q appartiennent a Z <=> p divise k et q divise l ??? cest ca ?

[Pseuda]

Bonjour,

Pour moi, grosso modo c'est ça, avec e=1 en l'ocurrence.

Mais le "l'ensemble des solution de Sn={exp(2πi (k/n)) } possede n solution." n'est pas très clair...