Groupes (K,+) et (K*,x)

[Hannaut]

Bonjour

On voudrait démontrer que les groupes (K,+) et (K*,x) (k étant un corps) ne sont pas isomorphes.
Je voulais savoir pourquoi dans la correction, on distingue le cas où 1k + 1k = 0k et l'autre cas quand c'est différent de 0k ?

[Doraki]

Parcequ'il y a un argument simple qui marche sauf si 1K + 1K = 0K.

[Hannaut]

D'accord. Cet argument c'est non injectivité de l’application ? (si on suppose qu'il y a un iso)

[Doraki]

Je suis désolé de te décevoir mais je n'ai pas le super pouvoir de regarder ta correction par-dessus ton épaule

[Ben314]

D'accord. Cet argument c'est non injectivité de l’application ? (si on suppose qu'il y a un iso)

ça, comme phrase, c'est plus ou moins "sans queue ni tête".

L'argument en question, c'est que, si 1+1 est distinct de 0 alors
a) (K*,x) contient un élément d'ordre 2, à savoir -1 vu que -1 est distinct de 1 et que (-1)²=1
b) (K,+) ne contient pas d'élément d'ordre 2 vu que y+y=0 => y=0 et que 0 est d'ordre 1 et pas 2.
donc ils ne peuvent pas être isomorphe.

Après, il faut reconnaitre que, si 1+1=0, on peut utiliser un argument pas franchement différent (*) :
a) (K*,x) ne contient pas d'éléments d'ordre 2 (pourquoi ?)
b) (K,+) contient au moins un élément d'ordre 2 (lequel ?)
donc ils ne peuvent de nouveau pas être isomorphe.

EDIT : (*) en supposant K commutatif (si K n'est pas commutatif, c'est clair qu'il ne risque pas d'y avoir d'isomorphisme)

RE-EDIT : Non, ça change rien : si K est non commutatif, les arguments en question marchent quand même vu que 1 est forcément dans le centre de K.

[Hannaut]

a) Si on prend x de K alors le carré de son image donne 1K ? L'image d'un élément x de K est d'ordre 2 non ?

b) Si x est dans K alors x + x = 0K