Groupes

[barbu23]

Bonsoir à tous, :happy3:
Soient et deux sous groupes cycliques.
Montrer que :
- est cyclique
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Un coup de main svp. :happy3:

[wserdx]

Y a-t-il une difficulté ?
examine par exemple un élément générateur (h,k).

[barbu23]

Y a-t-il une difficulté ?
examine par exemple un élément générateur (h,k).

et sont cycliques, donc : tel que et d'ordre respectivement, : premier, et : premier.
:
Si est cyclique, alors : , car :
Mais, je n'arrive pas à voir ce qu'il faut faire avec précision. :happy3:

[wserdx]

Il te manque quelques notions. L'ordre d'un groupe cyclique n'est pas nécessairement un nombre premier.

[barbu23]

Il te manque quelques notions. L'ordre d'un groupe cyclique n'est pas nécessairement un nombre premier.

Ah oui, c'est vrai, je supprime le mot premier de et .
Mais, après qu'est ce que je fais ?

[wserdx]

Je n'ai pas regardé si on pouvait mener le raisonnement jusqu'au bout, mais voici quelques pistes.
Si est un générateur de , quel est sont ordre ?
Quels sont les sous-groupes engendrés respectivement par et ?
Quels sont leurs ordres respectifs.
Si divise que vaut ?

Dans l'autre sens : Si et sont des générateurs respectifs de et, quels sont les sous-groupes engendrés respectivement par et ?
Les éléments de sont-ils tous de la forme ?
Résoudre l'équation
Quel est l'ordre de?

[arnaud32]

tu peux considerer l'applicationde f Z dans HxK
definie par f(n) = (x^n,y^n) ou x est un generateur de H et y un generateur de K

[barbu23]

Si est un générateur de , quel est sont ordre ?

Son ordre est , mais, je ne sais pas le démontrer.

Quels sont les sous-groupes engendrés respectivement par et ?

et

Quels sont leurs ordres respectifs.

et

Si divise que vaut ?

je pense, mais, je ne sais pas le montrer.

Dans l'autre sens : Si et sont des générateurs respectifs de et, quels sont les sous-groupes engendrés respectivement par et ?

, et

Les éléments de sont-ils tous de la forme ?

Oui.

Résoudre l'équation

Quel est l'ordre de?

PS : Peux tu donner plus de détails sur ta méthode @arnaud ?
PS : Je ne maîtrise pas bien les notions élémentaires de l'arithmétique. l'arithmétique est ma bête noire. :help:
Merci d'avance. :happy3:

[wserdx]

Bon, j'essaie de remettre les arguments dans l'ordre:

soit un élément de et un élément de et
Que vaut ?
Comme ppcm ,
montre que si aucun élément de ne peut avoir pour ordre et donc n'est pas cyclique

Maintenant on suppose
Soit un générateur de et un générateur de
Montre que si alors et divisent n et donc aussi . En déduire l'ordre de et que est cyclique.

[arnaud32]

Bon, j'essaie de remettre les arguments dans l'ordre:

soit un élément de et un élément de et
Que vaut ?
Comme ppcm ,
montre que si aucun élément de ne peut avoir pour ordre et donc n'est pas cyclique

Maintenant on suppose
Soit un générateur de et un générateur de
Montre que si alors et divisent n et donc aussi . En déduire l'ordre de et que est cyclique.

tu peux tou simplement noter que HxK est un groupe et un de ses sous groupes
tu as C HxK et card(HxK) =p*q
ensuite tu vas chercher l'ordre de

(x,y) ^n =(e,e') ssi p et q divisent n donc ssi ppcm(p,q) divise n