Groupes !

[barbu23]

Bonjour à tous : :happy3:
Voiçi un exo que je n'arrive pas à le resoudre seul :
Soit un groupe de cardinal : .
On considère la representation règulière de dans qui à associe l'isomorphisme :

tel que :

où : est une base : .
On note : la base duale de et la sous représentation de engendrée par : .
Montrer que : le noyau : de : est un supplementaire de dans , en tant que : - espace vectoriel et en tant que sous représentation de : .
On suppose que : contient une sous représentation isomorphe à :
Montrer qu'il existe tel que : pour tout .
En deduire que : .
Conclusion ?
contient -il une sous -representation de degré : ?
Voilà, je ne sais pas comment faire pour resoudre cet exo ! Aidez moi, je vous en supplie ! :happy3:
Merci d'avance ! :happy3:

[Finrod]

La base de l'espace à la puissance n, je trouve plus logique de l'indexer pas [1..n] que par G.

Soit c'est une erreur, soit je ne vois vraiment pas de quoi tu parles.

[barbu23]

comme tu veux !
tu peux aussi imaginer que : ! :happy3:
Bon, comme tu veux ! c'est pas moi qui pose ce problème ! je l'ai trouvé sur le net et sans solution malheurerusement ! :happy3:

[Finrod]

tu peux aussi imaginer que : !

C'est vrai seulement si G est libre. Ce qui est impossible pour un groupe fini.

[Finrod]

Quesion 1 : L'intersection est vide et l'un est de dimension 1, l'autre est le noyau d'une "j'ai oublié le nom" (un morphisme vers un truc de dim 1) donc un hyperplan (dim n-1)

La somme des dimension fait n. Finalement ils sont supplémentaires.

Pour la question 2, il doit falloir utiliser que v est un point fixe pour l'action de G.

Pour la question 3, je me demande si on ne peut pas relier tous les sous-machin de même dimension (par conjugaison dans G), ce qui impliquerai une absurdité. Mais je n'y connais rien ...

[Ben314]

Salut, Barbu,
La première chose à vérifier est que est bien une sous représentation de
Pour tout fixé, comme est une bijection de dans , on a donc . Cela montre que est une sous représentation et qu'elle est triviale.

Pour le 1), est une forme linéaire (c'est le mot qu'il manquait à Finrod) et l'argument qu'il donne montre bien que . Comme pour tout et , ne fait que permuter les coordonnées (dans ) de , on a donc et est bien une sous représentation de .

Pour le 2), comme est triviale, si contient une sous-représentation isomorphe à elle sera elle aussi triviale ce que signifie bien qu'il existe un tel que pour tout .
Comme pour tout on a , on en déduit que , c'est à dire que, pour tout on a . Cela montre bien que est colinéaire à .
On en déduit une contradiction vu que et sont en somme directe !

Pour le 3), Supposons que contient une sous représentations de base .
Pour tout , il existe donc tel que donc, pour tout , on a (1)
Pour il vient et, quitte à remplacer par un vecteur colinéaire, on peut supposer que . L'égalité (1) s'écrit alors et... je ne vois pas quoi en déduire...

Edit : par exemple pour un groupe cyclique, il y a des représentations de degrés 1 dans W...

[Finrod]

J'ai quand même vu ça :

* Soient (V, ) la représentation régulière de G et (W, ) une représentation irréductible de G de degré d, il existe exactement d sous espaces invariants Vi de V, d'intersection nulle deux à deux, tel que la restriction i de à Vi soit une représentation isomorphe à (W, ).

Donc à priori, pour d=1, il doit falloir trouver une seule et unique ss-représentation irréductible de deg 1.

[Ben314]

Salut,
Ce que tu dit est juste, mais le problème est de savoir combien est-ce que le groupe G admet de représentations irréductible de degré 1 (non isomorphes) : il y aura autant de droites vectorielle D globalement invariantes contenues dans W.
Il est façile de voir que les représentation de degrés 1 correspondent en fait aux sous groupes distingués de G tels que le quotient soit cyclique.
Il peut y en avoir plusieurs ou... aucune.

[Finrod]

En effet,

Ici G ressemble fortement a un sous groupe de , je sais pas si ça peut aider.

De plus dans cet exo, tu as toujours la somme des invariante par G et définissant donc une ss-rep irréductible de degrès 1.

[Ben314]

Si je comprend tout bien, la "représentation régulière" d'un groupe fini de cardinal n, au fond, ça revient à le voir systématiquement comme un sous groude de Sn (en le faisant agir sur lui-même par multiplication par exemple à gauche) et à utiliser la représentation 'naturelle' de Sn comme permutant une base de C^n.
La sous représentation de dim 1 V n'échape pas à la règle générale "représentation de degrés 1 <=> sous groupe distingué tel que le quotient est cyclique" : elle correspond simplement au cas "trivial" ou on prend comme sous groupe le groupe tout entier (c'est une des façons de voir que la représentation est triviale)

En résumé, je ne suis pas sûr de comprendre ce qui est attendu comme réponse à la question 3...

[barbu23]

Ok ! Merci pour ce que vous m'ecrivez là ! Je vais tous les lire dans un instants ! :happy3: