Groupes résolubles.

par **AlexisD** » 17 Oct 2009, 12:31

Bonjour,
J'ai récemment assisté à un TD d'Algèbre sur la résolubilité des groupes finis.
L'exercice consister à montrer que tous les groupes d'ordre inférieur à 100 étaient résolubles à l'exception des groupes d'ordre égal à 60. Cela ne m'a pas posé de problème mais l'enseignant se servait d'un propriété que je n'arrive pas à démontrer: "un groupe non simple est résoluble" J'ai regardé dans des livres, sur le net, etc...
Merci à celui qui accepte de m'aider.

par **Nightmare** » 17 Oct 2009, 12:47

Salut !

Tu es sûr que ce résultat est vrai?

par **AlexisD** » 17 Oct 2009, 13:58

Je vais le faire avec un exemple:

d'après le 3eme théorème de Sylow.

avec ici

désignant le nombre de 2-Sylow de G, idem avec 3.
Si l'on avait l'un des deux nombre égal à 1, par exemple

alors G serait résoluble comme extension d'un groupe d'ordre 2 par un groupe d'ordre 18, il est résoluble.
Si maintenant les deux nombres sont différents de 1 alors

d'où un morphisme:

avec

le groupe des permutations d'ordre 4
tel que

tel que

.
Le morphisme défini n'est pas trivial et si G était simple, alors il serait injectif.
Or |G|>4!
d'où la contradiction.
Il est donc non simple et résoluble.

Voilà c'est mot pour mot le TD.

par **yos** » 17 Oct 2009, 20:43

AlexisD a écrit:"un groupe non simple est résoluble"

J'appuie Nightmare : c'est faux. La présence d'un sous-groupe distingué propre ne suffit pas. Il faudrait qu'il soit résoluble lui-aussi, ainsi que le quotient je pense.

par **Nightmare** » 17 Oct 2009, 23:13

Il me semble que c'est vrai si tous les groupes d'ordre inférieur sont résolubles.

par **yos** » 18 Oct 2009, 05:27

Nightmare a écrit:Il me semble que c'est vrai si tous les groupes d'ordre inférieur sont résolubles.

Evidemment, en vertu de l'équivalence "G résoluble ssi (H et G/H résolubles)".
Mais c'est extrêmement fort comme hypothèse supplémentaire.

par **AlexisD** » 18 Oct 2009, 08:47

L'exercice a été traité par ordre croissant, on a commencé par les groupes d'ordre 2,3,4,...100 sauf pour 60. Donc si G/H et H résolubles impliquent que G est résoluble, a été utilisé dans la démarche de l'enseignant.
Je reprends l'exemple: pour l'ordre de |G|=36, on a montré qu'il était non simple, il admet un sous groupe distingué H d'ordre inférieur à 36.
Or on a montré que lui est le quotient sont résolubles d'où la conclusion.
Ce doit être ça, non ?

par **Nightmare** » 18 Oct 2009, 12:05

Exactement, je me doutais que ton exercice était de cet ordre là d'où ma propriété !

par **AlexisD** » 18 Oct 2009, 13:08

Merci bien alors.

Groupes résolubles.

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