Groupes quotient

par **Azuriel** » 08 Mar 2009, 16:33

Bonjour a vous,

Voila je découvre en lisant un cours quelque chose que je n'ai jamais vu (j'ai fait PC en prepa) :les groupes quotients. (ex : le groupe quotient R/Z) et en fait j'ai cherché un peu sur le net mais je n'arrive pas du tout a visualiser ce que sont les groupes quotient. Si quelqu'un avait la gentillesse de m'expliquer avec un ou deux exemples a l'appui qui me permettrait pour sur de mieux comprendre ça m'aiderait.

Merci d'avance.

par **leon1789** » 08 Mar 2009, 17:05

As-tu déjà fait un peu d'arithmétique ? avec des modulos ?

par **Azuriel** » 08 Mar 2009, 17:07

Oui bien sur. Quelle est l'analogie ?

par **leon1789** » 08 Mar 2009, 17:19

C'est que travailler dans les quotients, c'est exactement pareil que faire du modulo.

par **Azuriel** » 08 Mar 2009, 17:21

D'accord mais qu'elle est la différence entre le groupe R et R/Z par exemple...?
Ou Z et Z/2Z vu que 3 je peux écrire 3 ou 1+2 et ainsi atteindre tout les nombres...

par **leon1789** » 08 Mar 2009, 17:37

Azuriel a écrit:D'accord mais qu'elle est la différence entre le groupe R et R/Z par exemple...?
Ou Z et Z/2Z vu que 3 je peux écrire 3 ou 1+2 et ainsi atteindre tout les nombres...

Tu peux imaginer
R/Z comme un cercle de circonférence 1 (0 étant par exemple le pôle nord).
Z/nZ comme n points équidistants sur un cercle de circonférence n (i.e. les sommets d'un polygone régulier à n cotés).

Visuellement, ça te va ?

par **Azuriel** » 08 Mar 2009, 17:57

Ah d'accord. En fait R/Z sert a décrire tout les éléments de R (vu qu'a partir du cercle et en faisant des translation modulo des entiers on atteint n'importe quel nombre). Cela permet de simplifier l'ensemble...Comme si on se ramenait a un ensemble base permettant de décrire l'ensemble en entier ?

par **leon1789** » 08 Mar 2009, 17:58

Azuriel a écrit:Cela permet de simplifier l'ensemble...

oui si tu veux... et si les opérations que l'on veut faire supportent cette "simplification".

par **barbu23** » 08 Mar 2009, 18:19

Salut :

est definie par la relation d'équivalece suivante :

:

par **Azuriel** » 08 Mar 2009, 18:25

Mais donc le groupe R/Z correspond uniquements aux élèments de R sans avoir les "doublons d'équivalences" ? Ou c'est toujours tout R avec juste une relation d'équivalence qui est ajoutée ?

par **skilveg** » 08 Mar 2009, 18:33

Dans

, il y a moins d'information que dans

, puisqu'on peut se limiter à regarder la partie fractionnaire des nombres: tout réel est congru à un élément de

modulo

(ou modulo 1, au choix). Mais c'est parfois utile de regrouper les réels par paquets et de considérer chaque paquet comme un tout.

Par définition, le quotient d'un ensemble

par une relation d'équivalence

, c'est l'ensemble des classes d'équivalence de

pour cette relation.

par **Azuriel** » 08 Mar 2009, 18:47

Donc par exemple,un paquet de R/Z sont tout les nombres se terminant par .89 comme 6.89, 87.89 etc car ils sont équivalents ?

Et une classe d'équivalence c'est par exemple tout les nombres qui sont modulo entre eux modulo 5 ?

par **ThSQ** » 08 Mar 2009, 19:23

Et béh tu l'as posée vraiment partout ta question ! (futura, math-forum, forum-prepa, ...).

par **Azuriel** » 08 Mar 2009, 19:53

J'aime bien (pour certaines notions que je ne comprends pas) avoir tout les points de vue et d'explications. Mais ce n'est que sur ces 3 forums sur lequel je suis depuis pas mal de temps et dont je sais que les réponses sont toujours de qualités.

par **ThSQ** » 08 Mar 2009, 19:59

C'était pas un reproche. C'est une notion vraiment pas évidente la première fois !

par **Azuriel** » 08 Mar 2009, 20:39

Oui et j'aime pas pas comprendre donc je pose pas mal de questions pour essayer de cerner et de VRAIMENT visualiser le truc au lieu de me contenter des définitions.

Groupes quotient

Groupes quotient

Qui est en ligne