Groupes d'ordre 72

par **murray** » 25 Aoû 2007, 16:43

bonjour,

je sèche sur l'exercice suivant.

Trouver ( à un isomorphisme près) tous les groupes d'ordre 72.

Je sais qu'on commence en écrivant 72=2^3*3^2 puis on utilise les Z/nZ.

M.

par **quinto** » 25 Aoû 2007, 16:48

Oui, donc maintenant il faut trouver toutes les combinaisons possibles.
Il suffit de faire des regroupements

2^3*3^2=
2*2*2*3*3 -> (Z/2Z)^3(Z/3Z)^2

4*2*3*3 -> (Z/4Z)*(Z/2Z)*(Z/3Z)^2

etc

par **murray** » 25 Aoû 2007, 17:57

précisemment mais il semble qu'il faut éviter certains regroupements;un corrigé me donne comme groupes:

Z/72Z Z/3Z*Z/24Z
Z/2Z*Z/36Z Z/6Z*Z/12Z
Z/2Z*Z/2Z*Z/18Z Z/2Z*Z/6Z*Z/6Z

soit au total 6 groupes.

je ne comprends pas pourquoi on ne choisit pas Z/3Z*Z/24Z par exemple

par **yos** » 25 Aoû 2007, 18:07

Bonjour.
Tu veux les groupes commutatifs? Sinon c'est une autre histoire.
Sinon celui que tu proposes est dans ta liste (le second).

par **murray** » 25 Aoû 2007, 18:27

Oups! désolé, je viens de m'apercevoir que l'énoncé demande la recherche des groupes abéliens uniquement.
Mais je ne comprends pas pourquoi cela induit un tel changement.

Effectivement, Z/3Z*Z/24Z était dans ma liste, mais pas Z/4Z*Z/18Z

par **yos** » 25 Aoû 2007, 19:18

Celui que tu cites est le troisième de la liste. Je te laisse voir pourquoi. Tout est dans l'iso entre Z/nmZ et Z/nZ X Z/mZ pour n étranger à m.
Pour ton autre question : seuls les abéliens sont des produits de cycliques.

par **murray** » 25 Aoû 2007, 19:39

yos a écrit: seuls les abéliens sont des produits de cycliques.

mais il me semble que (Z/nZ, +) est cyclique pour tout n.

par **yos** » 25 Aoû 2007, 22:07

murray a écrit:mais il me semble que (Z/nZ, +) est cyclique pour tout n.

Evidemment! C'est pourquoi un groupe non commutatif ne saurait s'écrire comme un produit de groupes de la forme Z/nZ.

par **murray** » 26 Aoû 2007, 08:49

Très bien. Je commence à y voir un peu plus clair. On ne fait pas une liste exhaustive des regroupements possibles, car il y aurait de nombreux groupes isomorphes. Ainsi 8 et 9 étant premiers entre eux, Z/9Z*Z/8Z est isomorphe à Z/72Z. Mais par contre je ne vois pas pourquoi Z/4Z*Z/18Z est isomorphe à Z/2Z*Z/36Z

par **Lierre Aeripz** » 26 Aoû 2007, 10:56

Ce théorème va surement t'aider dans ta compréhension des groupe abéliens finis : [url]http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Kronecker[/url] .

Il permet de décomposer tout groupe abelien fini comme un produit de groupe cyclique et rajoute un contrainte pour que cette décomposition soit unique.

par **yos** » 26 Aoû 2007, 11:09

murray a écrit:Mais par contre je ne vois pas pourquoi Z/4Z*Z/18Z est isomorphe à Z/2Z*Z/36Z

C'est parce que tu ne forces pas trop :
Z/4Z * Z/18Z = Z/4Z * Z/2Z * Z/9Z = Z/2Z * Z/36Z .

par **murray** » 26 Aoû 2007, 21:39

OK Tout est limpide. Comme tu l'as dit, je ne me suis pas trop forcé. Merci en tout cas.

Groupes d'ordre 72

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