Groupes isomorphes, petit exercice

[Wenneguen]

Bonjour,

je m'intéresse à un petit exercice dont je ne comprends pas du tout la correction :

" Montrer que tout groupe à trois éléments est isomorphe à . "

La correction de mon livre est : " Un élément différent du neutre ne peut être d'ordre 2, il est donc d'ordre 3. Le groupe est donc isomorphe à . "

Je ne comprends ni d'où sortent les arguments, ni en quoi ils permettent de conclure :hein:

Si vous pouviez me détailler la chose au maximum ça serait très sympa, merci ! :we:

[jlb]

il y a un théorème: tout groupe d'ordre p premier est isomorphe à Z/pZ: la correction te redonne l'idée: tu montres que le groupe est cyclique d'ordre 3 et après tu utilises caractérisation des gr cycliques

[Wenneguen]

" tout groupe d'ordre p premier est isomorphe à Z/pZ "

Dans ce cas l'exercice est directement résolu, non ? :hum:

[capitaine nuggets]

Salut !

Je te propose une démonstration alternative :
Considère un ensemble à trois éléments muni d'une loi de composition tel que soit un groupe.
Ecris toute les tables de compositions possibles du groupe .

Ecris la table de composition du groupe .

Conclut en disant que deux groupes sont isomorphes s'ils ont même table de composition :+++:


Enfin, on aurait pu également isoler un isomorphisme de groupe de vers :++:

[Wenneguen]

Merci capitaine, mais je ne me sens pas très à l'aise avec cette méthode (table de composition ?) Quelque chose d'autre à proposer peut-être ? :we:

[Doraki]

Soit {a,b,c} les éléments du groupe.

Un groupe ça a un élément neutre, et donc quitte à renommer les éléments, on peut supposer qu'on l'a appelé a.

On regarde b*c.
Si b*c = b alors c = a, impossible.
Si b*c = c alors b = a, impossible.
Donc b*c = a.
On montre de la même manière que c*b = a.

Ensuite, on regarde b*b.
Si b*b = b alors b = a, impossible.
Si b*b = a alors b*b = b*c et donc b = c, impossible.
Donc b*b = c.
On montre de la même manière que c*c = b.

Et là tu as tout ce qu'il faut pour montrer que (0 mod 3) -> a, (1 mod 3) -> b, et (2 mod 3) -> c
est un isomorphisme entre Z/3Z et ({a,b,c},*)