Groupes non isomorphes

[Aispor]

Bonjours
J'aimerais savoir comment montrer que Z/2Z × Z/2Z n'est pas isomorphe à Z/4Z
Je pense que ça se fait par l'absurde mais je ne vois pas comment trouver de contradiction.
Merci.

[aviateur]

Bonjour
As-tu regardé l'ordre des éléments de ton premier groupe? ds le second groupe?

[Aispor]

Merci Aviateur pour ta réponse.

Je pense que :

Pour (Z/2Z)*(Z/2Z) on a
[0][0] d'ordre 1
[0][1] d'ordre2
[1][0] d'ordre 2
[1][1] d'ordre 2

Pour Z/4Z :
[0] d'ordre 1
[1] d'ordre 4
[2] d'ordre 2
[3] d'ordre 4

Mais je ne vois comment conclure que ces groupes ne sont pas isomorphes même si a priori j'ai envie de dire que le second est plus gros que le premier ^^

[Ben314]

Mais je ne vois comment conclure que ces groupes ne sont pas isomorphes même si a priori j'ai envie de dire que le second est plus gros que le premier ^^

Heuuuuuu.....
Si avec ça tu voit pas, ben... on est mal...
Est-tu bien sûr d'avoir (vaguement) compris qu'il voulait dire le mot "isomorphe" ?

[pascal16]

pour qu'il y ait morphisme de groupe, il faut pouvoir associer un à un les éléments de chaque ensemble de façon à ce que dans chacun des ensembles, ils aient le même comportement face à la lci concernée.

Les éléments ne sont pas forcément dans le bon ordre (sauf 0)
La lci concernée peut paraître complètement différente dans chaque ensemble

Ici, il faut que tu puisses associer deux éléments de même ordre, il t'en faut autant dans chaque ensemble de même ordre...

(ca serait plus clair avec des ensembles A et B, mais ça laisse un peu de place à la réflexion comme ça)

[aviateur]

Bonjour
Normalement vu la question que tu poses tu es censé avoir quelques notions d'algèbre.
si f est un isomorphisme du groupe E vers le groupe F.
Tu dois savoir que si e est l'élément neutre de E alors e'=f(e) est l'élément neutre de F.

Je te propose ce petit exo: soit a dans E d'ordre 5; on pose b=f(a). Quel est l'ordre de b?

[Aispor]

Ah donc si A est d'ordre 5 alors f(A) est d'ordre 5 !
Comme ça oui c'est plus clair merci ^^
En cours et en TD on l'avait jamais vu comme ça, les propriétés sur les homomorphismes que l'on a vu sont juste f(e)=e et f(-a) = -f(a)
J'ai vu aussi dans un bouquin que f(n*a)=n*f(a) pour n dans Z
On l'utilise dans les démonstrations parfois mais on l'a pas montrer ni écris explicitement. En tout cas ça a l'air d'être utile x)

[aviateur]

Bonjour
Attention n a (c'est quand tu note additivement) et a^n (multiplicativement)
Quand on parle d'isomorphisme de groupe, ces propriétés sont élémentaires (faciles à démontrer) mais surtout doivent être connues