Groupes exercices

[Ncdk]

Bonsoir,

Je suis tombé sur un exercice assez compliqué et je voulais savoir si mes réponses sont bien, rigoureuse, pour savoir les choses que je dois revoir ou pas

Soit (G,.) un groupe. Un sous-groupe H de G est dit normal si pour tout on a

1- Soit H un sous-groupe de G. Montrer que H est normal on a
2- On appelle centre de G l'ensemble Z(G)={ ; }. Montrer que Z(G) est un sous-groupe normal de G.
3- Soit (Pn, °) le groupe des permutations de {1,2,..,n} (). On note Id l'élément neutre de ce groupe. Montrer que si , alors Z(Pn) = {Id}
4- Montrer que si , les sous-groupes à deux éléments de Pn ne sont pas normaux.

Mes réponses actuelles :

1- On suppose H normal.
On suppose aussi , on prend alors x est un élément de G qui lui-même est un groupe. Donc on peut conclure que . Alors

On suppose on a .
, On note donc .
avec implique que

2-
Soit e l'élément neutre de G, donc pour tout x appartenant à G, xe=ex=x.
Alors e appartient à G, ey=ye=y pour tout y dans G, alors e appartient à Z(G)

, alors x,y appartiennent à G par définition de l'ensemble Z(G).
Donc xy est dans G par définition de Z(G) alors xy=yx appartient à Z(G).

, on a pour
car

comme et alors

Alors Z(G) est un sous-groupe de G.

De plus , soit donc alors c'est un sous-groupe normal de G.

3- et 4- je n'ai pas d'idée encore, je sais pas par où commencé en fait.

[Skullkid]

Salut, ta rédaction est très confuse. Quelques conseils :

- Une proposition écrite en langage symbolique doit faire sens quand elle est lue en français.
- Toutes tes variables doivent être introduites par un quantificateur ("soit", "quel que soit", "il existe").
- "Alors" vient à la suite d'un "si" pour exprimer une implication (si un ensemble est non vide, alors il contient au moins un élément). Quand tu te focalises sur un raisonnement déductif, utilise plutôt "donc" (cet ensemble est non vide, donc il contient au moins un élément).
- Commence toujours par écrire clairement tes hypothèses et les conclusions auxquelles tu veux parvenir (cf la démonstration du fait que le produit de deux éléments de Z(G) est dans Z(G)). Tu n'es pas obligé de l'inclure dans ta rédaction finale, mais fais-le au moins au brouillon pour te fixer les idées.

Pour ce qui est des remarques mathématiques :

1- On suppose H normal.
On suppose aussi , on prend alors x est un élément de G qui lui-même est un groupe. Donc on peut conclure que . Alors

On suppose on a .
, On note donc .
avec implique que

Ça n'a pas de sens, tu pars d'un élément y puis tu le "prends" égal à un groupe, puis il redevient un élément. On croit deviner qu'en fait tu introduis un élément de H (que tu devrais noter h, et surtout pas H) pour faire des calculs sur y, mais tel quel c'est illisible.

, alors x,y appartiennent à G par définition de l'ensemble Z(G).
Donc xy est dans G par définition de Z(G) alors xy=yx appartient à Z(G).

Tu n'as pas montré que xy appartenait à Z(G). Dire que xy est dans Z(G), c'est dire que pour tout g de G, xyg = gxy.

De plus , soit donc alors c'est un sous-groupe normal de G.

Même remarque qu'au dessus, on ne sait pas si ton y est censé être un élément ou un groupe...

Globalement tu as les bonnes idées, mais on a l'impression que tu te perds au milieu du chemin et que tu ne sais pas très bien ce que tu veux montrer, ni comment tu veux le montrer.

Pour la troisième question, prends une permutation s qui n'est pas l'identité. Il existe deux entiers distincts i et j tels que s(i) = j. Essaye alors de trouver une permutation qui ne peut pas commuter avec s.

[Ncdk]

Salut, ta rédaction est très confuse. Quelques conseils :

- Une proposition écrite en langage symbolique doit faire sens quand elle est lue en français.
- Toutes tes variables doivent être introduites par un quantificateur ("soit", "quel que soit", "il existe").
- "Alors" vient à la suite d'un "si" pour exprimer une implication (si un ensemble est non vide, alors il contient au moins un élément). Quand tu te focalises sur un raisonnement déductif, utilise plutôt "donc" (cet ensemble est non vide, donc il contient au moins un élément).
- Commence toujours par écrire clairement tes hypothèses et les conclusions auxquelles tu veux parvenir (cf la démonstration du fait que le produit de deux éléments de Z(G) est dans Z(G)). Tu n'es pas obligé de l'inclure dans ta rédaction finale, mais fais-le au moins au brouillon pour te fixer les idées.

Tout d'abord merci pour ces conseils, c'est vrai que dans mon cursus on ne m'a pas tellement appris à bien faire une preuve, comment bien s'y prendre, et j'avoue que j'ai du mal à apprendre les bases du coup, les maitriser pour ensuite rédiger des preuves, à mon niveau elles sont encore petites mais voila, si je gére pas le début, qu'est-ce que ça sera après

Ça n'a pas de sens, tu pars d'un élément y puis tu le "prends" égal à un groupe, puis il redevient un élément. On croit deviner qu'en fait tu introduis un élément de H (que tu devrais noter h, et surtout pas H) pour faire des calculs sur y, mais tel quel c'est illisible.

En fait ce que je voulais faire, c'est prendre un élément quelconque y dans puis prouver qu'il se trouve dans H. Je pense que c'est la bonne idée, mais je vois pas où ma supposition va me servir...

Tu n'as pas montré que xy appartenait à Z(G). Dire que xy est dans Z(G), c'est dire que pour tout g de G, xyg = gxy.

Justement, dans le sens contraire j'ai pas tellement l'idée, bon j'ai la fin, le début. mais j'arrive pas à trouver ce qu'il y a au milieu en fait...

Même remarque qu'au dessus, on ne sait pas si ton y est censé être un élément ou un groupe...

La pour ça, je voulais prouver que c'était un groupe tout simplement, mais je sais pas bien m'y prendre... Pour un ensemble plus facile, la preuve que prouver est un sous-groupe j'y arrive, mais pour ce genre d'ensemble j'y arrive pas, pourtant je sais les axiomes à prouver sans soucis mais pour le faire c'est une autre histoire...

Globalement tu as les bonnes idées, mais on a l'impression que tu te perds au milieu du chemin et que tu ne sais pas très bien ce que tu veux montrer, ni comment tu veux le montrer.

Tu as tout résumé, avant je n'avais même pas les bonnes idées, il y a un peu de progrès mais bon, c'est un de mes DM donc j'essaie de bien comprendre ce dm pour comprendre un peu mieux mes TD après