Géométrie différentielle

[MacManus]

Bonsoir !

Soit une surface orientée connexe dans . On suppose que l'endomorphisme de Weingarten
: est partout un endomorphisme scalaire :
il existe un fonction k : de classe telle qu'en tout point et pour tout vecteur tangent , on a .


1 -
Quelles sont les courbures principales, courbure moyenne et courbure de Gauss de au point ?

2 -
Soient et des ouverts et : un paramétrage local de .
Montrer que sur.
indication : on pourra dériver l'identité par rapport à v, puis échanger u et v.
En déduire que k est constante. (est la normale principale au point m.)

Pour la 1) je connais bien les définitions, mais je ne vois pas comment utiliser l'endomorphisme de Weingarten... (enfin si je dois l'utiliser)

Pour la 2) j'ai bien essayer de dériver mais je me perds un peu lorsqu'il faut dériver une deuxième fois par rapport à u...et puis je ne vois pas bien comment utiliser l'indication
merci à vous !

[Ben314]

Salut,
Déjà, pour la question 1), quand tu dit "je connais bien les définitions, mais je ne vois pas comment utiliser l'endomorphisme de Weingarten", je comprend pas trop ce que tu as comme définition....
Pour moi, les définitions sont les suivantes :
Les courbure principales sont les valeurs propres de l'endomorphisme (symétrique) de Weingarten.
La courbure moyenne est la moyenne des deux courbures principale, c'est à dire la moitié de la trace de l'endomorphisme de Weingarten.
La courbure totale (ou "de Gauss") est le produit des deux courbures principale, c'est à dire le déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.

Pour la 2), je n'ai pas regardé de prés, mais l'indication me semble assez claire.

[MacManus]

Oui je suis tout à fait d'accord. En fait je me suis mal exprimé...

Lorsque que l'on a un paramétrage donné d'une surface, on peut, en calculant les matrices des 1ére et 2éme formes fondamentales, retrouver l'expression de ces courbures, avec les définitions que tu donnes. Ici, aucun paramétrage n'est donné, et en fait je me demandais s'il fallait juste donner les définitions (comme tu l'as fait), ou donner leurs expressions "explicitement"... mais bon je pense que je cherche midi à quatorze !!

Pour la 2), oui je m'étais embrouillé dans mes calculs, mais c'est ok.

merci en tout cas!

[Ben314]

Pour les courbures, ici, tu n'a pas besoin de paramétrisation ni de rien :
Par hypothèse, pour tout de et y me semble que les valeurs propres de , on peut pas dire que c'est bien compliqué à trouver !!!

P.S. Ton exo, il y a pas une autre question consistant à montrer que est en fait une sphère (ou un morceau de sphère) ?

[MacManus]

Oui du coup c'est exactement le raisonnement que j'ai fais pour les valeurs propres!

3 -
On suppose. Montrer que l'application
: : est constante sur .
En déduire que est incluse dans une sphère.
Que dire si k=0 ?

la différentielle de l'application de Gauss au point m,, c'est l'endo. de Weingarten, donc et on a que

[Ben314]

C'est O.K., modulo le fait qu'il vaudrait mieux écrire vu que c'est un endomorphisme.