Geometrie differentielle

[nalia]

v(x,y)=(x^2-y^2,2xy)
un champ de vecteursur R^2 .on considere les trajectoiresde v cad les traces dans R^2 les solutions de l'equation z'=v .En identifiant R^2 avec C, on écrit z=x+iy pour un (x,y)€R^2
Observer que les trajectoires verifient l'equation z'=z^2. Resoudre l'equation avec la condition initiale z(0)=z°

je ne vois pas comment démarrer ce probleme!!

[cesar]

quand on veut les lignes de champs on utilise la formule générale suivante :
dx/Vx = dy/Vy Vx : composante du vecteur sur X et Vy composante du vecteur sur Y.

dans votre cas :
dx/(x^2-y^2)=dy/(2*x*y) = (dx+i*dy)/(x^2-y^2+i*2*x*y)

=d(x+iy)/(x+iy)^2 =d(-1/(x+iy))......

encore faut il connaitre la relation :
si a/b=c/d alors a/b=c/d=(a*x+y*c)/(b*x+y*d) avec x et y scalaires

vous pouvez aussi faire : dx-idy ce qui donne d(x-i*y)/(x-i*y)^2= d(-1/(x-iy))
d'où 1/(x-iy)=1/(x+iy) + K...je vous laisse faire la suite...

[thomasg]

Bonjour,

tout d'abord mes excuses pour trois raisons:
-je n'ai pas passé le temps nécessaire à comprendre les notations de César, ma solution est donc peut-être redondante à la sienne.
-je vais utiliser des notations un peu différentes que je vais présenter au début
-pour les éventuelles erreurs (merci de me les signaler.

Les trajectoires sont des fonctions de R dans R*R que je noterai l(t)=(l1(t);l2(t))
Par définitions des trajectoires les coordonnées de l doivents vérifier les deux équations ci-dessous:
l1'(t)=l1(t)^2-l2(t)^2
l2'(t)=2l1(t)l2(t)

on défini alors (comme tu le suggères) z une fonction de R dans C définie par z(t)=l1(t)+il2(t)

D'après les données du système ci-dessus z'(t)=l1(t)^2-l2(t)^2+i2l1(t)l2(t)
or z(t)^2=l1(t)^2-l2(t)^2+i2l1(t)l2(t)
Donc z(t)^2=z'(t)

C'est une équation différentielle de Bernouilli dont la solution vérifiant ta condition initiale est
z(t)=-1/(t-1/z°)

J'ai répondu de mon mieux. Merci de me dire si c'est bon.
Au revoir.

[cesar]

desolé, je n'avais pas vu la condition : "les solutions de l'equation z'=v "

car logiquement, si le vecteur est colineaire à la tangente, il n'est pas obligatoirement égal en module à celle ci.
donc il aurait fallu écrire
Vx+iVy=coef*Z' et non pas Z'=V. Mais si cela se trouve, le coef est égal partout à 1, sinon, on resteint l'espace des solutions...
mieux vaut suivre l'enoncé et faire la solution de thomas