Un exercice de géométrie différentielle

[Prison Break]

Bonjour/Bonsoir

ma question est simple( :triste: ):
Montrer que est une variété différentiable, et essayer de présenter graphiquement les projections de sur .

[R.C.]

Bonjour,
Pour le premier point, tu peux utiliser la projection stéréographique : tu "poses" S^3 sur R^3 (ils se touchent en un point S), et tu prend N le point le plus éloigné de R^3, et ensuite tu envoie un point de S^3-{N} sur le point d'intersection de (NP) et R^3. Ensuite tu recommence en posant R^3 sur S^3 en N. Je te laisse deviner les formules, ainsi que le changement de carte et vérifier que c'est sympathique.
Pour ce qui est de la projection de S^3 sur R^3 (si c'est bien de projection orthogonale dont tu parles), je te conseille de regarder déjà la projection de S^2 sur R^2.

[busard_des_roseaux]

bonjour,

quelques éléments, en espérant ne pas écrire trop de bêtises:

comme

l'équation de devient:





Pour tout point de , on peut espérer ainsi obtenir un paramétrage localement bijectif d'un voisinage du point sur un pavé ouvert de

et tester que les changement de cartes
sont des difféomorphismes.

exactement comme pour le cercle.

autre méthode
Avec l'équation de la sphère et le théorème des fonctions dites implicites,
on doit obtenir un paramétrage local de la sphère avec trois coordonnées,
et pareil, il faut vérifier que les changements de cartes sont des difféo.


autre méthode
On plonge tout ça dans
On utilise la projection stéréographique. Elle, elle envoie carrément la
sphère, privée du pôle Nord sur l'hyperplan
d'équation t=0.

c'est assez simple, on obtient deux cartes qui décrivent :
"sphère privée du pôle Nord" et "sphère privée du pôle Sud" et les changements de cartes sont de plus des fonctions analytiques,
avec peut être un pôle pour échanger les points à l'infini.

grillé par R.C :zen:

Pour la projection orthogonale,j'essayerai de voir comme agit le groupe
orthogonal de sur
pour obtenir une base orthonormée où la projection se résume à la perte d'une coordonnée.

[Prison Break]

merci R.C & busard_des_roseaux
svp j'ai besoin d'un cours(pdf) sur la géométrie différentielle(variétés , espace tangent , fibré tangent) avec des exercices (si c'est possible)

par ce que j'ai trouvé pas mal de PDF mais avec différent définition de la notion de "Variété différentiable".

[Prison Break]

En fait , a quoi sert la géométrie différentielle ? pourquoi on étudie tous ça
Ps:je suis étudiant en 1er année Master mathématiques fondamentales.

[ffpower]

En fait , a quoi sert la géométrie différentielle ? pourquoi on étudie tous ça
Ps:je suis étudiant en 1er année Master mathématiques fondamentales.

Je n y connais pas grand chose,mais je crois en fait que c est des ensembles naturels a étudier car ils se ramenent naturellement a R^n.Si V est une variété et f:V->R par exemple,qd on étudie f localement,c est a peu pres comme si f était défini sur R^n.C est donc de bons ensembles pour généraliser des trucs qui se passent sur R^n.Che pas si ca te suffit lol,c est comme ca que je le vois en tout cas^^

[R.C.]

Je suis assez impressione, je ne pensait pas qu'en L1 on faisait de la geo diff!! Par contre je n'ai pas trouve de pdf bien fait. Moi ce que je conseille c'est le livre de Lafontaine, Introduction aux varietes diff. C'est tres bien fait, avec des exemples, des exos.

Sinon pour la motivation de la geo diff, je dirais pour en rajouter une couche que beaucoup d'objets de la vie courante (en physique quoi) ne sont malheureusement pas des espaces vectoriels. L'objet de la geo diff, c'est de leur donner une structure qui permet de mieux les comprendre, notamment en etudiant des fonctions lisses, des champs de vecteurs et plein d'autres trucs qui viennent assez naturellement.

[ffpower]

Je suis assez impressione, je ne pensait pas qu'en L1 on faisait de la geo diff!! Par contre je n'ai pas trouve de pdf bien fait. Moi ce que je conseille c'est le livre de Lafontaine, Introduction aux varietes diff. C'est tres bien fait, avec des exemples, des exos.

Sinon pour la motivation de la geo diff, je dirais pour en rajouter une couche que beaucoup d'objets de la vie courante (en physique quoi) ne sont malheureusement pas des espaces vectoriels. L'objet de la geo diff, c'est de leur donner une structure qui permet de mieux les comprendre, notamment en etudiant des fonctions lisses, des champs de vecteurs et plein d'autres trucs qui viennent assez naturellement.

Il est en M1,pas L1^^

[R.C.]

Il est en M1,pas L1^^

Oups, desole, je suis un peu fatigue :dodo:

[busard_des_roseaux]

En fait , a quoi sert la géométrie différentielle ?

euh,
les variétés sont les surfaces, les volumes,etc..
donc c'est physiquement important.

Il ya plusieurs domaines d'étude:
- la topologie algébrique: on essaye de caractériser la variété (surfaces,volumes,etc) et sa complexité topologique (topologie=science du lieu) par des structures algébriques: groupes de classes d'homotopies de lacets, cohomologie,faisceaux,etc.
Ainsi on peut classer les surfaces par types: sphères,tores,etc..
et les courbes (gauches, noeuds,etc..)

- la géométrie différentielle: grosso modo, on applique le calcul infinitésimal
à la géométrie: on approche la surface par des éléments simples: droites tangentes,plans tangents, cercles et sphères osculatrices,etc..
on étudie aussi les problèmes d'extrema de fonctions à valeurs réelles
définies sur des surfaces.

Il ya une idée profonde de Riemann (j'ai d'ailleurs pas compris :zen: )
c'est que l'on peut définir une métrique locale, intrinsèque, qui est la métrique Riemannienne et qui va définir les géodésiques, je crois. Elle caractérise la surface ??

On étudie aussi les problèmes de courbure (le fameux théorème de Poincaré ,démontré par Perelman). Je crois que c'est assez chaud , par exemple, la courbure de l'Univers (négative ou positive) dépend de sa densité globale de Matière.

Sinon, il y a des idées simples comme de définir des surfaces et volumes
par des atlas et de recoller les morceaux. Selon les propriétés des changements de cartes (homéo,difféo,
fonctions analytiques, holomorphes..) on obtiendra différentes structures plus ou moins rigides.

D'autre part, il y a encore un gros morceau, c'est toute l'algébre multilinéaire
(p-formes alternées) qui sert à l'orientation , qui sont transportées par les morphismes via les espaces tangents. L'orientation impose des contraintes lors des plongements (ex:bouteille de Klein, ruban de Moëbius..)

Concrêtement, les variétés différentielles englobent beaucoup d'objets habituels: cercles, sphères,groupes linéaires, groupes orthogonal,
groupes de Lie,espaces euclidiens,affines,projectifs,...

[Prison Break]

Waw , il me parait que l'étude de la géo diff n'est pas du tous facile !
Le premier semstre contient :
*analyse fonctionnelle
*calcul différentiel dans les EVN
*topologie algébrique
*Géométrie Riemannienne
*analyse numérique ( à 2 variables)
+anglais



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