Bonjour!
Je dois résoudre un problème de.. disons géométrie différentielle et je séche un peu. est-ce que quelq'un pourrait me donner un coup de main?
En fait je dois simplement appliquer une pullback (resp. pushforward) à un tenseur covariant (resp. contravariant) dans un système de coordonées locales.
Je ne suis pas sur de la traduction du pullback, mais je crois que c'est une application tangente.
Si jamais je peux donner plus de précisions sur la donnée du problème.
Merci beaucoup de votre aide!
Géométrie différentielle
4 messages
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"pullback"
par jose_latino » 03 Sep 2006, 21:58
Le truc est simple et naturel:
On va faire le cas dont le tensor est covariant:
Soit
une variété différentiable m-dimensional, et 
. Considérons une tenseur 
sur 3-covariante. Dans une voisinage 
de 
on peut choisir une système de coordonées locaux )
on peut écrire le tenseur de la façon suivante 
, où 
et les 
sont les fonctions coordonées.
Considère, maintenant, une fonction
, où 
est une variété n-dimensional . Cette fonction induit une fonction \to T^3N)
(en anglais "pullback de 
"), et cela est définite par:
Soit
, si 
est une voisinage de 
et \subset U_{f(n)})
, où il existe une système de coordonées locaux )
=\sum T_{ijk}(f(x))[ du^i\circ Df(x)]\otimes [du^j\circ Df(x)]\otimes [du^k\circ Df(x)])
=\sum T_{ijk}(f(x))[ d(u^i\circ f)(x)]\otimes [d(u^j\circ f)(x)]\otimes [d(u^k\circ f)(x)]=\sum {T'}_{rst}dv^r\otimes dv^s\otimes dv^t)
(x)=\sum \frac{\partial u^i\circ f}{\partial v^r}=\sum \frac{\partial f^i}{\partial v^r})
en remplaçant:
On va faire le cas dont le tensor est covariant:
Soit
Considère, maintenant, une fonction
Soit
en remplaçant:
par jose_latino » 03 Sep 2006, 23:36
Maintenant le cas contravariant:
Considérons une tenseur sur 3-contravariant. Dans une voisinage de on peut choisir une système de coordonées locaux on peut écrire le tenseur de la façon suivante 
, où 
et les sont les fonctions coordonées.
Considère, maintenant, un diféomorphisme
, où est une variété n-dimensional . Cette fonction induit une fonction \to T_3N)
(en anglais "pullforward de "), et cela est définite par:
Si)
est une voisinage de )
et \subset V_{f(p)})
, où il existe une système de coordonées locaux
=\sum T^{ijk}(f^{-1}(x))[Df(x)\left(\frac{\partial}{\partial u^i}\right)]\otimes [Df(x)\left(\frac{\partial}{\partial u^j}\right)]\otimes [Df(x)\left(\frac{\partial}{\partial u^k}\right)])
=\sum T^{ijk}(f^{-1}(x))[\left(\frac{\partial f}{\partial u^i}\right)]\otimes [\left(\frac{\partial f}{\partial u^j}\right)]\otimes [\left(\frac{\partial f}{\partial u^k}\right)]<br />=\sum {T'}^{rst}(x)[\left(\frac{\partial }{\partial v^r}\right)]\otimes[\left(\frac{\partial }{\partial v^s}\right)]\otimes[\left(\frac{\partial }{\partial v^t}\right)])
=\sum \left(\frac{\partial v^r\circ f}{\partial u^i}\right)\frac{\partial }{\partial v^r}=\sum \left(\frac{\partial f^r}{\partial u^i}\right)\frac{\partial }{\partial v^r})
en remplaçant:
=\sum{T}^{ijk}\circ f^{-1}\left(\frac{\partial f^r}{\partial u^i}\right)\left(\frac{\partial f^s}{\partial u^i}\right)\left(\frac{\partial f^t}{\partial u^i}\right))
Considérons une tenseur
Considère, maintenant, un diféomorphisme
Si
en remplaçant:
par quoi » 04 Sep 2006, 12:21
jose_latino a écrit:Le truc est simple et naturel:
Peut-être pour toi mais pas pour moi
. J'ai aussi la sensation que cet exercice est facile, néanmoins je ne suis pas encore du tout assez a l'aise avec les notations et je n'ai pas encore assez travaillé avec ces notions pour bien comprendre. Mais grâce toi, ça devient plus claire, merci beaucoup du coup de main!++
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