Géométrie dans l'espace

[mj4]

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je suis bloquée, je ne sais pas trop comment démarrer, pourriez vous me donner des pistes?

Voici l'énoncé:
On a un tétraède ABCD, un plan de Monge est un plan perpendiculaire à une arrête et passant par le milieu de l'arrête opposée.
1)Prouver que ces 6 plans sont concourants en un point K
2)Prouver que les bimédianes sotn concourantes en un point qui est le centre de gravité de ABCD
3)Prouver que K est le symétrique du centre de la sphère circonscrite à ABCD par rapport au centre de gravité de ABCD
4)Prouver que ABCD est orthocentrique ssi ses arrêtes opposées sont 2 à 2 perpendiculaires, et montrer que l'orthocentre et le point K dans ce cas

Mes réponses:
1) je pensais rechercher l'équation de chaque plan , et en déduire un système qui m'aurait donné les coordonées du point d'intersection, seulement je me suis rendue compte que je ne pouvais pas, est ce que je peux dire, mais je ne sais pas vraiment comment le rpouver, les 6 plans ne sont ni paralèles, ni confondus, donc ils sont sécants, et puisqu'il y en a plus de 2 ils sont sécants en un ou plusieurs points, mais après je ne voispas trop


Merci d'avance

[laya]

Tu imagines le nombre d'équations à résoudre si tu transformes le problème de géométrie descriptive en un problème de géométrie cartésienne ?

Essaye plutôt de faire par étapes

Etape 1 : détermine l'intersection de deux plans de Mange en la caractérisant - EDIT - comme une hauteur d'un certain triangle.

Etape 3 : étend le résultat en examinant les intersections deux à deux des plans de Mange

Etape : regarde ce que tu peux en tirer pour ton problème (intersection des 6 plans).

[mj4]

D'accord, merci beaucoup, je vais essayer et je vous direz ce que j'obtiens

Merci d'avance

[laya]

D'accord, merci beaucoup, je vais essayer et je vous direz ce que j'obtiens

Merci d'avance

Vous savez, les demandes respectueuses comme la votre reçoivent presque toujours une réponse (à l'inverse de ceux qui postent leurs exo, sans bonjour ni au revoir).

Si vous avez besoin d'indications supplémentaires, n'hésitez pas à revenir les demander.

[mj4]

D'accord, merci beaucoup, et je trouve que ce n'est pas parce qu'on est sur internet que la politesse doit être mise de côté surtout quand on sait que des personnes comme vous nous aident bénévollement

[laya]

Voici donc la question 1 découpée en plusieurs questions intermédiaires menant au résultat souhaité.

1.a On note M, N et P les milieux respectifs de [AB], [AC] et [AD]. On note (Q) le plan de Monge contenant le point M et perpendiculaire à (CD).
Justifier pourquoi (NP) est perpendiculaire à (Q).

1.b Soit (D) la droite d'intersection des plans (Q) et (MNP), justifier rapidement pourquoi M appartient à la droite (D). Dire alors pourquoi (D) est nécessairement la hauteur du triangle (MNP) issue du sommet M.

1.c Déduire par symétrie des rôles (càd sans tout refaire) que le plan de Mange contenant N et perpendiculaire à (BD) coupe (MNP) en sa hauteur issue de N. De même, déduire que le plan de Mange passant par P et perpendiculaire à (BC) coupe le plan (MNP) en sa hauteur issue de P.

1.d Si on appelle H l'orthocentre du triangle MNP, montrer que l'intersection des 3 plans de Mange considérés ci-dessus est la droite passant par H et perpendiculaire au plan (MNP). On appellera (D1) cette droite.

1.e On considère maintenant les points J et L, milieux respectifs de [BC] et [BD]. En raisonnant de manière similaire que dans les questions (1.a) à (1.d), sans tout réécrire, juste par similarité des rôles, déduire que l'intersection de 3 plans de Mange que vous définirez est la droite perpendiculaire au plan (MJL) en l'orthocentre du triangle MJL. On appellera (D2) cette droite

1.f Montrer que les deux droites (D1) et (D2) sont coplanaires et non parallèles. On note S leur intersection.

1.g Montrer que le point S appartient au plan de Mange qui n'a pas encore été utilisé (5 ont été utilisés, il en reste un 6ème). Conclure que S est en fait le point K recherché, intersection des 6 plans de Mange.

[Maxmau]

Bj
1/ Utilisation du produit scalaire
ABCD un tétraèdre
P(AB) est le plan passant par le milieu de AB et orthogonal à l’arête CD opposée à l’arête AB.
I désignant la milieu de AB, l’équation de P(AB) se traduit en disant que le produit scalaire est nul
Tenant compte de: 2MI = MA + MB et CD = MD - MC (en vecteurs)
L’équation de PAB) s’écrit:
- + - = 0
On a ainsi 6 équations pour les plans P(AB) , P(BC) , P(CA) , P(DA) , P(DB) , P(DC).
Les 3 premiers plans P(AB) , P(BC) , P(CA) ont des vecteurs normaux linéairement indépendants. Leur intersection est donc constituée d’un seul point.
Chacune des équations des plans P(DA) , P(DB) , P(DC) est combinaison linéaire (très simple) de 2 équations parmi les 3 équations des plans P(AB) , P(BC) , P(CA).
Les 6 plans ont donc un point commun unique

Remarque les questions /2 et 3/ permettent de retrouver 1/ de façon très élégante

[mj4]

D'accord, merci beaucoup j'ai compris, et j'ai réussi à appliquer les deux méthodes, par contre j'ai réussi la question 3) en admettant la question2) que je n'ai pas réussi à résoudre
pourriez vous med onner une piste

Merci d'avance

[laya]

D'accord, merci beaucoup j'ai compris, et j'ai réussi à appliquer les deux méthodes, par contre j'ai réussi la question 3) en admettant la question2) que je n'ai pas réussi à résoudre
pourriez vous med onner une piste

Merci d'avance

Si vous notez M, N, P, J, L et I les milieux respectifs de [AB], [AC], [AD], [BC], [BD] et [DC] alors vous pourrez montrer que MNIL, PNJL, MPIL sont des parallélogrammes. Si G est l'intersection des bimédianes, c'est-à-dire de (MI), (NL), (PJ) alors vous pouvez réécrire la somme en remarquant que .....à continuer.

Rq : l'exo ne demande pas de montrer que les bimédianes sont concourantes en un même point, il le prend pour acquis (ça se démontre assez facilement, centre des parallélogrammes mentionnés ci-dessus).

[Maxmau]

Je développe une précédente remarque.
Comment on démontre le résultat 1/ à partir de 2/ de façon très simple.

question 2 - voir précédent message
les 3 bimédianes d'un tétraèdre ABCD se coupent en leur milieu qui n'est autre que G l'équibarycentre des point A,B,C,D.
Ce résultat est en effet une conséquence des propriétés du barycentre

question 1 et 3
D'après 2/ la symétrie de centre G échange les milieux des côtés du tétraèdre et transforme les plans médiateurs des arêtes en les plans de Monge ( le plan médiateur de AB est transformé en un plan parallèle passant par le milieu de CD)
Les 6 plans médiateurs concourent au centre O de la sphère circonscrite au tétraèdre. Dons les 6 plans de Monge concourent au point symétrique de O par rapport à G.

[mj4]

D'accord, merci beaucoup, mais je ne comprend pas bien pourquoi on peut écrire GA+GB+GC+GD
en faite quelle est la question si ce n'est pas de montrer que les bimédiane sont concourantes?

Merci d'avance

[Maxmau]

D'accord, merci beaucoup, mais je ne comprend pas bien pourquoi on peut écrire GA+GB+GC+GD
en faite quelle est la question si ce n'est pas de montrer que les bimédiane sont concourantes?

Merci d'avance

Pr def le centre de gravité du tétraèdre ABCD est l'unique point G vérifiant GA + GB + GC + GD = 0 (en vecteurs). Si I est le milieu de AB et J celui de l'arête opposée CD, on a (en vecteurs): GA + GB = 2GI et GC + GD = 2GJ d'où GI + GJ = 0. G est donc le milieu de la bimédiane IJ. De même il est le milieu des 2 autres bimédianes. Conclusion: les 3 bimédianes sont concourantes en G et G est le milieu de chaque bimédiane.

[mj4]

d'accord, j'ai compris, j'ai aussi fait en utilisant le milieu des diagonales du parallélogrammme
par contre pour montrer que ce point est le centre de gravité, j'ai essayé les barycentre, mais je ne vois pas à quoi je dois aboutir, sur internet il n'y a pas beaucoup de définition du centre de gravité d'un tétraède

Merci d'avance

[mj4]

Ah c'est bon , j'ai compris
par contre pourriez vous me donner une indication pour la question suivante, parce que je m'étais trompée

Merci d'avance

[mj4]

et juste pour montrer que MNIL est un parallélogramme est ce que je peux dire que MN parrallèle à BC et IL parrallèle à BC donc MNIL ets un parallélogramme?

Merci d'avance

[Maxmau]

et juste pour montrer que MNIL est un parallélogramme est ce que je peux dire que MN parrallèle à BC et IL parrallèle à BC donc MNIL ets un parallélogramme?

Merci d'avance

Non ça ne suffit pas
mais tu as en vecteurs MN = (1/2) BC et LI = (1/2)BC donc les vecteurs MN et LI sont ègaux et là tu peux en conclure que MNIL est un parallèlogramme

[mj4]

Oui, d'accord, j'en ai oublié une partie

[mj4]

oui et pour la question 3 en faite j'ai compris votre raisonnement mais il y a juste une chose qui m'échappe: comment on sait que G transforme les plans médiateurs des arêtes en les plans de Monge

Merci d'avance

[mj4]

Ah, je crois que j'ai compris, en faite un plan qui passe par M milieu de AB en lui étant perpendiculaire est symétrique par rapport à G au plan perpendiculaire à CD passant par son milieu I
donc un plan médiateur pour AB devient un plan médiateur pour CD qui est un plan de Monge pour AB

C'est bien ça ?

Merci d'avance

[mj4]

et par contre les plans médiateur du tétraède sont bien concourants en le c"netre de la sphère circonscrite au tétraède par définition ?

Merci d'avance