Géométrie dans l'espace - Position système d'axe fonction d'

[Kontiki]

Merci Robot.

Pour la finalisation de l'expression de la problématique que je rencontre, il s'agit en fait des angles d'Euler et de son théorème de rotation.



C'est le système de rotation utilisé dans Cinema 4D.

[Robot]

La, tu ajoutes encore à la confusion !!!
La description d'une rotation par les angles d'Euler, telle qu'illustrée sur l'animation, n'est pas du tout la description par yaw, pitch and roll (lacet, roulis, tangage) dont tu parlais précédemment.

[Kontiki]

Décidémment... je ne vais pas arriver à exprimer correctement le problème.

Pourtant, si le système utilise les angles d'Euler dans son calcul de rotation, c'est bien la même formulation qu'il me faut étayer pour obtenir les mêmes résultats.

Dans wikipedia, la définition est la suivante :

Les angles d'Euler sont les trois angles introduits par Leonhard Euler (1707-1783) pour décrire l'orientation d'un solide.

Le mouvement d'un solide par rapport à un référentiel (un avion dans l'air, un sous-marin dans l'eau, des skis sur une pente...) fait intervenir 6 paramètres, qui sont, par exemple, les trois coordonnées décrivant la position de son centre de masse (ou d'un point quelconque du solide) et trois angles, nommés les angles d'Euler, cf. les schémas ci-dessous.

Or c'est exactement ce que j'ai dans ma simulation : Les coordonnées X,Y et Z de mon point et les trois angles qui se nomment H,P,B. Cf les tableaux ci-dessus.

Quant au dessin dont j'ai mis le lien, il émane aussi de ce site :https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

On y retrouve bien Pitch, Roll et Yaw. Mais d'après ce que j'ai - rapidement - pu lire sur la convention de nommage des angles, il n'y en a pas, c'est selon.

[Robot]

Mais d'après ce que j'ai - rapidement - pu lire

Il faudrait que tu lises avec plus d'attention !

De deux choses l'une : ou bien ton logiciel utilise pour paramétrer les rotations les angles d'Euler, les vrais, comme illustré dans l'animation. Ce paramétrage correspond généralement à
- une rotation de autour de l'axe z
- puis une rotation d'angle autour du nouvel axe x
- enfin une rotation de autour du nouvel axe z
(une suite z-x-z, tu peux vérifier dans la page wikipedia, c'est bien ce qui est indiqué pour l'animation)
ou bien ton logiciel utilise les angles de Tait-Bryan, selon la terminologie de la page wikipedia. Généralement ça correspond à
- une rotation de autour de l'axe z (yaw)
- puis une rotation de autour du nouvel axe y (pitch)
- puis une rotation de autour du nouvel axe x (roll)
(une suite z-y-x, tu peux vérifier dans la page wikipedia, c'est bien ce qui est indiqué pour yaw-pitch-roll)

Les logiciels peuvent avoir des conventions non usuelles sur l'ordre des rotations, mais il y a toujours une caractéristique qui sépare radicalement les deux décompositions :
- pour les angles d'Euler, le troisième axe de rotation est (dans le repère mobile) le même que le premier;
- tandis que pour les angles de Tait-Bryan, les axes de rotations sont les trois axes du repère mobile.

Si tu confonds les deux approches, pas étonnant que tu t'emmêles les pinceaux !

[Kontiki]

Merci de cette précision Robot.

Néanmoins, je te confirme ce que j'ai écris plus haut. Voici ce qui est indiqué dans la doc :

En interne, CINEMA 4D fonctionne exclusivement avec le système HPB. HPB est une abréviation pour les angles d’Euler Heading (Lacet), Pitch (Tangage) et Bank (Roulis).

Contrairement aux rotations HPB, les rotations XYZ autour des axes d’un objet forment un groupe non commutatif, ce qui signifie qu’il y a une différence entre une rotation autour de X, puis de Y, et une rotation autour de Y, puis de X. Même avec deux angles de rotation identiques, l’objet prend deux positions différentes. Cette méthode n’est donc pas adaptée à l’animation.

Avec le système HPB, en revanche, les angles sont libres, ce qui signifie que vous pouvez changer le lacet puis le tangage ou vice-versa.

Donc, il s'agit bien d'un système de rotation d'Euler.

Mais tu auras remarqué que je suis loin d'avoir le niveau, donc même avec cette approche, je te rassures, je m’emmêle les pinceaux. Néanmoins, je pense que les choses se précisent de plus en plus.



PS : il est aussi précisé cela :

De nombreux utilisateurs ne comprennent pas pourquoi les rotations autour de l’axe Z (l’angle de roulis) se déroulent dans le système de l’objet, alors que les rotations autour des axes Y et X (lacet et tangage) se déroulent toujours dans le système du Monde.

Cela reprend bien ce que tu précises.

[Robot]

Donc, il s'agit bien d'un système de rotation d'Euler.

Non. Ce n'est pas parce que les gens qui font des logiciels 3D écrivent un peu n'importe quoi dans leur documentation qu'il faut les croire. Un autre bel exemple d'ânerie est le fait qu'on obtiendrait un groupe commutatif avec le système HPB !
Le système HPB n'est pas un système d'angles d'Euler au sens propre. C'est un abus de terminologie. Je t'ai expliqué la différence fondamentale dans mon message précédent, et tu peux te reporter à la page wikipedia que tu citais.

[Robot]

Allez, des formules :







Je les ai trouvées par un calcul matriciel avec Maple, mais ça peut sans aucun doute se voir directement.

[Kontiki]

Salut Robot.

Merci, merci, merci ! Tu es remarquable. Cette aide m'est très précieuse.

Que dire de plus ?

[Robot]

Attention, les formules données ne vont pas marcher tout le temps : la preuve, on n'obtient pas comme ça de Hb plus grand que 90° ou plus petit que -90°.