Géométrie dans l'espace (L3)

par **lamar** » 03 Jan 2007, 21:59

Bonjour,

On a bientôt un exam de maths et le trouvant assez dur notre gentil prof nous a envoyé des "conseils" par mail...
Notamment celui ci :

Donnez vous deux triangles de mêmes dimensions dans un espace euclidien de dimension 3
et demandez vous sil existe une rotation ou un vissage qui envoie lun dans lautre, et dans
ce dernier cas cherchez le vecteur du vissage en question.

Le problème c'est que ca ne m'avance pas beaucoup... Je ne vois pas du tout comment faire... Si quelqu'un peut m'aider je lui en serait très reconnaissant!!

Ps : personne connaitrait un bon site pr la géométrie dans l'espace pour licence car j'ai cherché sans grand succes... Ou il y aurait des exos corrigés et ou serait expliquer "clairement" comment on compose des rotations dans l'espace notamment?

Merci d'avance en tout cas :we:

par **Zebulon** » 03 Jan 2007, 22:45

Bonsoir,

lamar a écrit:personne connaitrait un bon site pr la géométrie dans l'espace pour licence car j'ai cherché sans grand succes... Ou il y aurait des exos corrigés et ou serait expliquer "clairement" comment on compose des rotations dans l'espace notamment?

je ne connais pas de site mais j'ai acheté un très bon bouquin de géométrie cette année : Géométrie (niveau L3-M1) par Michèle Audin. Problème : les exercices ne sont pas corrigés, on ne fait que nous donner des pistes pour certains exos.

par **lamar** » 04 Jan 2007, 01:05

Merci Zebulon,

Malheuresement je ne pense pas que j'aurai le temps d'aller acheter un bouquin mon exam est lundi.... :mur:

Si quelqu'un a une idée pour le vissage ca serait vraiment super cool! :we:

par **nuage** » 04 Jan 2007, 02:10

Salut,
Si les 2 triangles sont coplanaires on passe de l'un à l'autre par une suite de 3 (au plus) symétries axiales (exercice niveau 2°). Comme dans R^3 ce sont des isométries positives leur composée est une ismétrie positive (ie un vissage). Si ce n'est pas le cas une rotation d'axe l'intersection des plans défini par les 2 triangles les rend coplanaires. Et c'est fini.
Ceci étant on ne détermine pas sans renseignements suplémentaire les éléments du vissage en question.

par **lamar** » 04 Jan 2007, 03:02

Salut nuage,

D'abord merci enormément de bien vouloir m'aider... (je commencais a deprimer avec cet exo!! lol)

Ensuite efectivement ta démonstration me semble pas mal du tout...
Mais j'ai juste quelques petites questions...

Une reflexion n'est pas une isometrie negative? (dans R^3 ce n'est aps un antideplacement?)
[EDIT: Ah non dans R^3 c'est un retournement donc une rotation d'angle Pi !! C'est bien ca?]

Sinon quand tu dis "une rotation d'axe l'intersection des plans défini par les 2 triangles les rend coplanaires" cela signifie qu'il faut en fait composé une rotation r1 et un vissage r2ot donc ca donne r1or2ot et comme la composé de deux rotations est une rotation (ou une translation) on a bien un vissage? C'est cela? (une composé de rotation dans l'espace est bien une rotation ou une translation?)

Merci enormément en tt cas tes conseils me sont d'une aide préciseuse, merci!

par **lamar** » 04 Jan 2007, 03:32

En m'inspirant bcp de ta demonstration j'en ai fait une autre (se rapprochant plus des theoremes quo'n a vu en cours) pouvez vous me dire si elle est bancale svp?
Dans R^3 une isometrie est la composé d'au plus 4 reflexions,
Or toute reflexion de 2 triangles dans R^3 est equivalent a une rotation d'axe l'intersection des plans des 2 triangles si ils ne sont pas coplanaires(c'est a dire si la reflexion n'est pas faite avec un plan qui est orthogonale au plan engendré par le 1er triangle) et une rotation si les 2 triangles sont coplanaires d'axe l'intersection du plan engendré par les 2 triangles et du plan de symetrie qui lui est orthogonal. (en fait si probleme il y a c'est surement ici vous trouvez ca evident ou faudrait plus le demontrer?)
Ensuite cela signifie que c'est la composé de 4 rotation (or la composé de 2 rotation est soit une rotation soit une translation) donc ca donne bien un vissage...
En l'ecrivant je me suis appercu d 'un pb un vissage est la composé d'une rotation d'axe d et d'une translation de vecteur directeur t masi est ce que t est necessairement colineaire a d? Si oui ca fout tout en l'air.... :marteau:

par **lamar** » 04 Jan 2007, 15:17

J'ai reussi a montrer que la composé d'une translation et d'une rotation est soit un vissage soit une rotation... Donc finalement c'est bon...

Dans l'espace est ce qu'on peut dire que la reflexion d'un triangle T1 par un plan P peut etre retrouvé en faisant une rotation d'axe l'intersection de P et du plan engendré par T1 (sauf si ces plans sont paralleles, dans quel cas c'est une rotation d'axe l'intersection d'un plan paralele a ces deux plans et passant par le milieu de G et G').

Vous trouvez que c'est evident? Ou faut il le démontrer ?

EDIT : Si les plans sont paralleles ce n'est pas "une rotation d'axe l'intersection d'un plan paralele a ces deux plans et passant par le milieu de G et G'" :cry: Par contre il semblerait qu'on puisse la retrouver en composant des rotations... Si quelqu'un a une idée...

par **lamar** » 04 Jan 2007, 19:26

Peut on dire que la translation est de vecteur r(A)A' ? Ou r est la rotation du vissage...

Je ne vois pas ce qu'on peut dire de plus...

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