Fourier et valeurs propres

[egan]

Salut tout le monde,

Je m'intéresse en ce moment à la transformée de Fourier sur L1 et en particulier à ses valeurs propres.

On peut montrer que (en utilisant l'inversion de Fourier) si f est L1 et que sa transformée de Fourier est aussi L1, alors on a:

F^4(f) = f

F désigne la transformation de Fourier ici.

J'étudie donc en fait F sur l'espace vectoriel des fonctions L1 à transformée de Fourier L1.
Comme F est linéiare, la relation précédente nous indique que son polynôme minimal diviser:

X^4 - 1

En particulier, le spectre de F est inclus dans {1;-1;i;-i}.

J'avais déjà lu quelque part que c'est en fait le spectre complet de F.
Je ne vois pas spécialement comment le montrer si ce n'est mettre en évidence des vecteurs propres associés à chacune de ces valeurs propres.

Avez-une idée un peu plus élégante ?

Toutefois, j'aimerais quand même avoir une idée de la tête des vecteurs propres. Je sais qu'avec des gaussiennes on peut se débrouiller pour trouver des points fixes donc des vecteurs propres associés à la valeur propre 1. Mais y en a-t-il d'autres ?

Comment déterminer tous les vecteurs propres ?

Il me reste une dernière petite question. Est-ce que la relation F^4 = Id a une chance d'être vraie ou d'avoir un sens sur L1 complet ? Personnellement je ne pense pas mais j'ai peut-être loupé quelque chose.

Merci d'avance.

@+ Boris.

[egan]

Personne ?

[egan]

Personne n'a d'idée sur le sujet ?

[wserdx]

As-tu regardé les combinaisons linéaires de gaussiennes, loretziennes, et exponentielles?

[egan]

Normalement:

- les exponentielles du type exp(-|x|) donnent des lorenztiennes
- les exponentielles du type exp(-x) nulles sur R- donnent "une moitié de décomposition en éléments simples des lorenztiennes"
- les lorenztiennes donnent des exponentielles

Il faut régler les coefficients mais ça marche.

Avec les gausiennes, je n'ai sorti que des gausiennes.

Ou veux-tu en venir avec cela ?

[egan]

Ah ok j'ai compris.

Comme en gros lorenztienne donne exponentielle et réciproquement, ton indication me permettrait normalement de trouver d'autre vecteur propre associés à la valeur propre 1.

Peut-être -1 en forçant un peu.

Mais je ne vois pas spécialement comment m'y prendre pour i et -i.

[egan]

J'ai trouvé un truc sur wikipédia.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Transform%C3%A9e_de_Fourier

Les fonctions d'Hermite-Gauss permettent de ne pas trop se fatiguer apparement.

Elles ont bien l'air L1 en plus.