Formule de Taylor et developpement limité

[mira]

Salut,
Pouvez vous m'expliquer la difference entre la formule de taylor et le developpement limité?
Et comment peut -on savoir lequel qu'on doit utiliser ? Merci d'avance!

[Ben314]

Salut,
Déjà, l'expression "formule de Taylor", c'est on ne peut plus vague : il y a plusieurs formules qu'on désigne sous ce vocable et certains (dont moi...) parlent aussi de "formule de Taylor" pour parler de développement limités.
Histoire de s'entendre sur le vocabulaire, il y a qu'à prendre (par exemple) la page de Wiki comme référence pour les noms des différentes formules.
Donc à mon avis (confirme ou infirme...) ta question est de savoir quand est-ce qu'on utilise la "formule de Taylor-Young" (=développement limité) et quand est-ce qu'on en utilise une autre, par exemple celle de "Taylors-Lagrange" que tu as du voir, ou bien celle de "Taylor-Cauchy" (souvent appelée "avec reste intégral")

Si c'est bien ça la question, alors c'est relativement simple :
- La formule de Taylor-Young, avec son petit "o" ne permet (par définition même) que d'avoir une approximation de la fonction f que pour x "voisin" de xo donc ne peut être utile que pour estimer la valeur de f lorsque x est "assez proche" de xo, mais sans connaître explicitement "à quel point" il faut être proche pour que l'estimation soit correcte.
Typiquement, c'est (très) utile pour calculer des limites ou pour dire que, dans un certain intervalle ]xo-epsilon,xo+epsilon[ on a tel type de comportement de la fonction, mais sans savoir réellement quelle est la valeur du epsilon (on sait juste qu'il existe).
- Alors que les autres formules de Taylor donnent une valeur plus ou moins explicite du reste (moyennement explicite pour celle de Taylor-Lagrange vu qu'on sait pas trop combien vaut Xi, mais c'est quand même plus précis que le petit "o" du celle de Taylors-Young). Donc ça permet d'avoir une estimation non seulement valable pour les x proche de xo, mais aussi pour des x éventuellement "assez éloignés" de xo.
Ca permet aussi de trouver par exemple le signe de l'erreur commise lorsqu'on remplace la fonction par son estimation alors que bien évidement, le signe d'un petit "o", ben on le connaît pas. Bref, ça permet toute sortes de calculs concernant le fameux "reste" de la formule générale de Taylors qu'on ne peut pas avoir à l'aide d'un simple petit "o".

[mira]

Merciii

[pascal16]

NB : un DL peut exister sans que le fonction ne soit dérivable (du genre x²sin(1/x) en 0)

Le DL se dit souvent plus 'local' et moins précis que l'égalité que l'on a avec du Taylor-reste intégral mais a aussi d'autres applications :
-> un DL écrit comme f(a)+ f'(a) (x-a) est en fait une comparaison à un polynôme dont tous ses nombres dérivés coïncident en a à ceux de la fonction.

On appelle encore ça un DL, mais c'est pour moi une comparaison de fonctions avec notation "o" :
-> un DL peut se généraliser en +oo (asymptote et autres)
-> un DL peut ensuite utiliser autre chose que des polynômes (famille de cosinus, exp, puissances fractionnaires, puissance négatives...)
[edit] : c'est un équivalent le nom exact, la famille la plus pertinente apparaît lors des calculs, elle peut être du genre P(x)Ln(x)

Bref, c'est beau, c'est flexible, adaptable et ça marche bien

PS : il y a aussi les polynômes interpolateurs qui ne respectent pas du tout les dérivées et qui sont aussi des approximations de fonction par des polynômes mais qui cherchent à minimiser une différence sur un intervalle.

[Pseuda]

Bonjour pascal16,

C'est intéressant ce que tu écrit. Finalement, un DL d'une fonction au voisinage d'un point, c'est une approximation (par une autre fonction) au voisinage de ce point (calculable plus facilement, ou qui exprime plus clairement son comportement), Ce DL est de plus en plus précis au fur et à mesure du développement.

[pascal16]

oui.
On compare à une famille de fonctions qu'il est préférable de bien choisir ("libre").
Le définition avec une limite qui tend vers 0 rend le DL selon la famille des monômes compatible avec la dérivée quand la fonction est dérivable.